Partielle Ableitung - Aufgabe korrekt?

24.03.2012, 13:12

GLSL

Partielle Ableitung - Aufgabe korrekt?

Hey,

Ich habe mich gerade an einer Aufgabe zur Partiellen Ableitung (1. Ordnung) probiert und wüsste nun gerne, ob die Lösung stimmt:
[attach]23661[/attach]

1. Zeile = Formel
2. Zeile = Ableitung nach y
3. Zeile = Ableitung nach x

MfG Wink

24.03.2012, 13:17

SusiQuad

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RE: Partielle Ableitung - Aufgabe korrekt?
Beide falsch.

$\begin{eqnarray*} x^2 = const \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} y = \end{eqnarray*}$ variabel
$\begin{eqnarray*} y^{-2} = const \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} x = \end{eqnarray*}$ variabel

24.03.2012, 13:19

GLSL

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Hm,

und warum bleibt nicht z.B. das x in der Mitte bei xy konstant, wenn x² = const ist?

24.03.2012, 13:25

GLSL

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Anmerkung: Die Rechnung ist ja scheinbar falsch, weil dort nicht xy steht sondern einmal x und einmal y, oder?!

24.03.2012, 13:31

SusiQuad

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$\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ ist nicht const., da hast Du richtig abgeleitet.

Für eine Ableitung nach x sieht $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ aus wie $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + Cx +D \end{eqnarray*}$ .
Wird jetzt klar ... ?

24.03.2012, 13:35

GLSL

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Ahh also hab ich die Ableitungen quasi vertauscht?
Da wo bei fy steht, habe ich fx abgeleitet und umgedreht?! verwirrt

24.03.2012, 15:09

lgrizu

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Da Susi offline zu sein scheint:

Nein, auch wenn man die Ableitungen vertauscht ist das noch nicht richtig.

Susi hat dir doch ganz allgemein hingeschrieben, wie deine Funktion ausschaut, wenn du sie als Funktion von x betrachtest.

Was passiert mit Konstanten, wenn man sie ableitet?

24.03.2012, 18:51

GLSL

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Okay also irgendwie muss ich hier ja total auf dem Schlauch stehen Forum Kloppe

Wäre es möglich, dass mir mal jemand die Ableitung von x sowie y zu der Gleichung korrekt zeigt? Dann würde ich nochmal eine andere Aufgabe dazu bearbeiten und diese hier posten. Also um zu kontrollieren ob ich es dann verstehe.

MfG Wink

24.03.2012, 19:06

mYthos

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Anderes Beispiel (nicht deines hier):

$\begin{eqnarray*} f(x,y)= x^3y^4+x^2y^2 \end{eqnarray*}$
___________________________

$\begin{eqnarray*} f_x = 3x^2y^4 + 2xy^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_y = 4x^3y^3 + 2x^2y \end{eqnarray*}$

mY+

24.03.2012, 19:08

Julian1991

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Hier die Lösung:

Edit (mY+): Bitte KEINE Lösungen posten!! Prinzip beachten!!!
Lösungen entfernt.

24.03.2012, 19:14

GLSL

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Also wenn ich mir das angucke, würde ich meine Aufgaben wie folgt lösen:
[attach]23668[/attach]

24.03.2012, 19:16

GLSL

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Okay, ist ja scheinbar falsch...
Ich will wohl einfach nicht verstehen wie man drauf kommt böse

24.03.2012, 19:16

Julian1991

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Zitat:

Original von GLSL
Also wenn ich mir das angucke, würde ich meine Aufgaben wie folgt lösen:
[attach]23668[/attach]

Wenn du f nach x ableitest, ist y^(-2) konstant. Verschwindet also beim Ableiten.
Selbiges bei f nach y: Du lässt x^2 einfach stehen, dabei ist es eine Konstante und würde beim Ableiten verschwinden.

24.03.2012, 19:21

GLSL

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Also etwas kostantes ist für mich etwas, was sich nicht verändert.
Warum verschwindet es dann also beim ableiten? verwirrt

24.03.2012, 19:46

mYthos

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@Julian
Bitte nicht einfach in den Thread hineinplatzen und vor allem KEINE Lösungen posten!
____________________

Es verschwinden nur additive Konstanten, so wie z.B. 8 oder 3/7.
Multiplikative Konstanten bleiben (als Faktoren) erhalten.

Hast du die (einfachsten) Ableitungsregeln noch nicht verinnerlicht?

24.03.2012, 19:52

GLSL

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Was heist einfachste Ableitungsregeln? Ich hab mir partielle Ableitungen heute zum ersten mal angeschaut und ich will das einfach nicht verstehen Forum Kloppe

Es macht für mich halt Null Sinn, wie sich die Gleichung entwickelt.
fx wird so zu 2x + y ?

Also das x² zu 2x wird kann ich ja gut nachvollziehen, aber warum steht da + y und nicht + x?

24.03.2012, 19:59

mYthos

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Wenn du nach x ableitest, sind alle anderen Zahlen ausser x als Konstante anzusehen. Daher ist die Ableitung von y nach x eben Null, weil y NICHT von x abhängt.
Desgleichen ist die Ableitung von xy nach x eben y, weil y als multiplikative Konstante erhalten bleibt. Das ist genau so, wie die Ableitung von 8x nach x gleich 8 ist.

Das verstehe ich unter einfachste Ableitungsregeln:
Additive Konstanten werden zu Null und multiplikative (mit der Variablen verbundene) Konstanten bleiben erhalten. Da solltest du dich eigentlich nicht so aufregen.

24.03.2012, 21:00

GLSL

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Okay, also wie ich auf die Lösung von der Aufgabe komme, dass versteh ich nun.
Aber wenn ich mir jetzt andere Aufgaben anschaue, dann werden wohl schon wieder andere Gesetze gebraucht und es klappt nicht.

Gibt es denn eine Seite, wo nochmal die Grundlagen möglichst gut erklärt werden und ich für partielle Ableitungen gerüstet bin?

24.03.2012, 21:22

mYthos

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Die partiellen Ableitungen funktionieren nicht anders als die "normalen" Ableitungen.
Wenn du also die übrigen Regeln "parat" hast, kann eigentlich nichts passieren.
-->
Produkt-, Quotienten-, Kettenregel, ...

Allgemein kannst du unter "Differentiationsregeln" sicher sehr viel finden.

mY+

24.03.2012, 22:18

SusiQuad

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Versuchen wir es mit etwas $\begin{eqnarray*} \color{blue} \text{Farbe} \color{black} \end{eqnarray*}$ für die Konstanten (und später folgt eine geometrische Erklärung) ...

Wir haben $\begin{eqnarray*} f(x,y) = x^2 + xy - y^{-2} \end{eqnarray*}$

und wollen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten (beachte, x ist schwarz), also ...

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x,\color{blue} y \color{black}) = x^2 + x\color{blue} y \color{black} - \color{blue} y^{-2} \color{black} \end{eqnarray*}$

Daraus wird $\begin{eqnarray*} {f_x}(x) = 2x + 1~\color{blue} y \color{black} + \color{blue} 0 \color{black} \end{eqnarray*}$

Jetzt wollen wir nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ableiten, also muss ich die $\begin{eqnarray*} \color{blue} x \color{black} \end{eqnarray*}$ -Terme einfärben, also ...

$\begin{eqnarray*} f(y) = f(\color{blue} x \color{black},y) = \color{blue} x^2 \color{black} + \color{blue} x \color{black}y - y^{-2} \end{eqnarray*}$

Daraus wird $\begin{eqnarray*} {f_y}(y) = \color{blue} 0 \color{black} + \color{blue} x \color{black}~1 +2 y^{-3} \end{eqnarray*}$

Soweit die rechnerischen Anteile.

Bei den $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial e_1} \end{eqnarray*}$ handelt es sich um sog. Richtungsableitungen,
man bestimmt also die Steigung in Richtung $\begin{eqnarray*} e_1 = \binom{1}{0} \end{eqnarray*}$ , also der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Koordinate.

Der DifferenzenQuot. ist ergo ...

$\begin{eqnarray*} \frac{f\left[ \binom{x}{y} + h~\binom{1}{\color{blue} 0 \color{black}} \right] - f\left[ \binom{x}{y} \right]}{h} = \frac{ f\binom{x+h}{y+ \color{blue} 0 \color{black} } - f\binom{x}{y}}{h} \end{eqnarray*}$ ...

was erklärt, daß keine Änderungen in Richtung y bzw. $\begin{eqnarray*} \color{blue} e_2 \color{black} \end{eqnarray*}$ erfolgen.

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