Binominalkoeffiezienten

21.01.2007, 12:16

Meister der Noobies

Binominalkoeffiezienten

Bonjour sehr geehrte Meister der Mathematik!

Folgenses Problem stellte sich mir heute auf:

Wenn man zeigen will, dass $\begin{eqnarray*} $\left( \begin{array}{c}p \\i\end{array} \right)$ \end{eqnarray*}$ durch p teilbar ist, braucht man nur den Binominalkoeffizienten mit seinen Fakultäten schreiben und p ausklammern:
$\begin{eqnarray*} $\frac{p!}{i!(p-i)!}=p\cdot \frac{(p-1)!}{i!(p-i)!} \; \; \; , \; \; \; \text{für} \; \; 1 \; \leq \; i \; \leq \; p-1$ \end{eqnarray*}$
Wie beweise ich jetzt, dass für alle nach Definition zulässigen i auch $\begin{eqnarray*} $\frac{(p-1)!}{i!(p-i)!} \in \mathbb N$ \end{eqnarray*}$ gilt?

Es wäre schön, wenn mir jemand diese Frage beantworten könnte!

LG

Der Meister der Noobies

21.01.2007, 12:47

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Bleib lieber erstmal beim Quotienten $\begin{eqnarray*} \frac{p!}{i!(p-i)!} \end{eqnarray*}$ , von dem weißt du, dass er eine ganze Zahl ist. Und jetzt untersuche Zähler und Nenner getrennt nach der Teilbarkeit durch die Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ : Gilt die nur für den Zähler, aber nicht für den Nenner, bist du am Ziel.

23.01.2007, 16:48

Meister der Noobies

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Danke für den guten Willen, aber ich bin glaub ich noch nen bisschen zu doof dazu, um das zu verstehn... könntes du deine Begründung etwas einfacher erklären? Wieso bin ich am Ziel, wenn der Nenner nicht durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar ist?

LG
Meister der Noobies

23.01.2007, 16:54

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Das ist eine elementare Primzahleigenschaft, folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:

Zitat:

Wenn Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ein Teiler des Produktes $\begin{eqnarray*} u\cdot v \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ oder ein Teiler von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ .

Das kennst du doch, oder? Nichts weiter wird hier angewandt, und zwar auf $\begin{eqnarray*} u = \frac{p!}{i!(p-i)!} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=i!(p-i)! \end{eqnarray*}$ .

Und da wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kein Teiler dieses $\begin{eqnarray*} v=i!(p-i)! \end{eqnarray*}$ ist, bleibt nur noch die andere Variante...

23.01.2007, 20:04

Meister der Noobies

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Ahh ok ja die Regel ist mir durchaus bekannt ja, beantworte aber noch nicht hinreichend meine uhrsprünglich gestellte Farge:

Zitat:

Wie beweise ich jetzt, dass für alle nach Definition zulässigen i auch $\begin{eqnarray*} $\frac{(p-1)!}{i!(p-i)!} \in \mathbb N$ \end{eqnarray*}$ gilt?

LG
Der Meister der Noobies

24.01.2007, 01:55

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Zitat:

Original von Meister der Noobies
Ahh ok ja die Regel ist mir durchaus bekannt ja, beantworte aber noch nicht hinreichend meine uhrsprünglich gestellte Farge:

Zitat:

Wie beweise ich jetzt, dass für alle nach Definition zulässigen i auch $\begin{eqnarray*} $\frac{(p-1)!}{i!(p-i)!} \in \mathbb N$ \end{eqnarray*}$ gilt?

Inwiefern "nicht hinreichend" ???

Wenn du weißt, dass $\begin{eqnarray*} \binom{p}{i} = \frac{p!}{i!(p-i)!} \end{eqnarray*}$ stets ganzzahlig ist (was z.B. aus der Konstruktion mit dem Pascalschen Dreieck folgt), ist meine Argumentation durchaus hinreichend, was willst du denn noch mehr? verwirrt

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