Ultrafilter (gdw)

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24.03.2012, 17:23	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ultrafilter (gdw) Meine Frage: Man zeige: Ein Filter $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ auf einer Menge $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist genau dann Ultrafilter, wenn $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ die Primfilter-Eigenschaft erfüllt, d.h. für alle $\begin{eqnarray} A, B\in X \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} A\cup B\in\mathcal{F}\Longrightarrow A\in\mathcal{F}~\text{oder}~B\in\mathcal{F} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich bin noch nicht wirklich zurecht gekommen. " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ": Sei $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ Ultrafilter auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Angenommen, $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ hat nicht die Primfilter-Eigenschaft. Das bedeutet es gibt $\begin{eqnarray} A, B\in X \end{eqnarray}$ für die aus $\begin{eqnarray} A\cup B\in\mathcal{F} \end{eqnarray}$ nicht folgt, daß $\begin{eqnarray} A\in\mathcal{F} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} B\in\mathcal{F} \end{eqnarray}$ . Jetzt muss ich irgendwie folgern, daß $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ kein Ultrafilter ist, d.h. daß es einen echt feineren Filter $\begin{eqnarray} \mathcal{G} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ gibt, s.d. $\begin{eqnarray} \mathcal{F}\subset \mathcal{G} \end{eqnarray}$ . Nur: Wie? Kann ich einen Tipp bekommen?
24.03.2012, 17:27	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Eigenschaft, dass ein Ultrafilter entweder eine Menge oder deren Komplement enthält gehts gut.
24.03.2012, 17:37	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, danke! Also sei $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ Ultrafilter und sei $\begin{eqnarray} A\cup B\in\mathcal{F} \end{eqnarray}$ . Dann folgt $\begin{eqnarray} X\setminus (A\cup B)=(X\setminus A)\cap (X\setminus B)\notin\mathcal{F} \end{eqnarray}$ . Angenommen, $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ erfülle nun nicht die Primfilter-Eigenschaft, dann bedeutet das: $\begin{eqnarray} A\notin\mathcal{F}\Rightarrow X\setminus A\in\mathcal{F} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B\notin\mathcal{F}\Rightarrow X\setminus B\in\mathcal{F} \end{eqnarray}$ Und wegen der Filtereigenschaft, daß endliche Schnitt wieder im Filter enthalten sind: $\begin{eqnarray} (X\setminus A)\cap (X\setminus B)\in\mathcal{F} \end{eqnarray}$ . Widerspruch
24.03.2012, 17:42	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, so wars gemeint. Die andere Richtung ist noch einfacher aber nicht vergessen.
24.03.2012, 17:52	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß gar nicht, was ich bei der Rückrichtung eigentlich aufschreiben soll. Ist $\begin{eqnarray} A\in\mathcal{F} \end{eqnarray}$ , kann $\begin{eqnarray} X\setminus A \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} \mathcal{F} \end{eqnarray}$ sein, da sonst die leere Menge im Filter wäre. Analog für das ODER ( $\begin{eqnarray} B\in\mathcal{F} \end{eqnarray}$ ). Also ist der Filter Ultrafilter.
24.03.2012, 17:58	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zeigen, dass diese vereinigungseigenschaft, also, wenn die vereinigung zweier mengen drin ist, dann eine der Mengen, impliziert dass jede Menge oder deren Komplement drin ist.
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24.03.2012, 18:06	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso... Daraus, daß $\begin{eqnarray} X\in\mathcal{F}\Rightarrow A\in\mathcal{F}~\text{oder}~X\setminus A\in\mathcal{F} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} X=A\cup X\setminus A \end{eqnarray}$
24.03.2012, 18:27	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist es!
24.03.2012, 18:28	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Dir!
24.03.2012, 19:58	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage stellt sich mir hier doch noch. In der Aufgabestellung heißt es ganz am Ende: (Auswahlaxiom!) Wo kommt denn in den Beweisen das Auswahlaxiom vor? Nutze ich das irgendwo und merke es nur nicht?
24.03.2012, 20:28	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich dir echt nicht sagen. Das Auswahlaxiom ist äquivalent zum Lemma von Zorn und das braucht man um die Existenz von Ultrafiltern zu beweisen, so viel kann ich dir verraten.
24.03.2012, 20:33	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich weiß, daß man das Lemma v. Zorn braucht um zu zeigen, daß jeder Filter in eine Ultrafilter enthalten ist. Aber wo man hier in den beiden Beweisen das Auswahlaxiom braucht, verstehe ich auch nicht.

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