Lineare Abbildung, Kern = 0, aber nicht injektiv

24.03.2012, 19:28

Em

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Lineare Abbildung, Kern = 0, aber nicht injektiv

Hallo,

zur Prüfungsvorbereitung habe ich einmal folgende lineare Abbildung auf Surjektivität, Injektivität und Bijektivität untersucht.

$\begin{eqnarray*} R² \Rightarrow R²: (a,b) \Rightarrow (ab,a+b) \end{eqnarray*}$

Folgende Abbildungsmatrix habe ich ermittelt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Kern dieser Matrix ist nach meiner Rechnung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Damit müsste die Matrix per Definition injektiv sein.

Aber:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bilden beide auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ab.

Könnt ihr den Fehler entdecken?

Vielen Dank!

24.03.2012, 19:34

parkerstone

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Die Abbildung ist nicht linear.

24.03.2012, 19:34

Julian1991

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Ich denke schon die Abbildungsmatrix ist falsch.
Das Bild von $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ ist nicht der Vektor, den du da raus hast.

24.03.2012, 19:38

Em

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Danke für die schnellen Antworten!

Nach dem Falkschema würde ich rechts oben (a,b) einsetzen und links unten zwei Zeilen mit x1 und y1 und x2 und y2.

Wenn ich jetzt beide Matrizen miteinander multipliziere rechne ich

x1*a+y1*b = ab
x2*a+y2*b = a+b

x1 = 0, y1 = a
x2 = 1, y2 = 1

Was ist da falsch?

24.03.2012, 19:43

parkerstone

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Schon dass du dich für die Antworten bedankst. Besser wäre es sie zu lesen.
Also nochmal:
Die Abbildung ist nicht linear. Also geht auch kein Falk-Schema. Und keine Matrix beschreibt die Abbildung (das a hängt ja auch vom abgebildeten Punkt.)

24.03.2012, 19:51

Che Netzer

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RE: Lineare Abbildung, Kern = 0, aber nicht injektiv
Ergänzungen: Die Abbildung ist zwar nicht linear, aber bilinear.
Außerdem ist der Kern einer Matrix bzw. Abbildung eine Menge und man kann höchstens sagen, dass nur die Null im Kern liegt, aber nicht, dass der Kern gleich Null ist.

mfg,
Ché Netzer

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24.03.2012, 19:52

Em

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Zitat:

Die Abbildung ist nicht linear. Also geht auch kein Falk-Schema. Und keine Matrix beschreibt die Abbildung (das a hängt ja auch vom abgebildeten Punkt.)

Wie hast Du das durch scharf hingucken ermittelt?
Für einen Tipp wäre ich dankbar.

Wenn ich den Vektor (a,b) mit der von mir gebildeten Matrix multipliziere, kommt aber das Bild raus. Handelt es sich ggf. nur um eine Abbildung? Kann ich daran keine Eigenschaften wie Injektivität & Co festmachen?

24.03.2012, 19:55

Che Netzer

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In der ersten Komponente werden a und b multipliziert, das geht bei linearen Abbildungen nicht.
Z.B. würde 2(a,b) auf (4ab,2a+2b) abgebildet, nicht auf 2(ab,a+b).

Und die Matrix "funktioniert zwar", sie darf aber keine Variablen enthalten (zumindest keine, die man in die Funktion einsetzen soll).

Und bei nichtlinearen Abbildungen kann man trotzdem Injektivität feststellen, x³ ist es zum Beispiel.

mfg,
Ché Netzer

24.03.2012, 19:59

parkerstone

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Das Produkt zweier Eintrage ab ist ein starkes Indiz für Nicht-Lineaarität.
Und die Abbildung ist natürlich eine Abbildung. Und dafür ist auch injektiv und surjektiv definiert. injektiv hast du ja bereits widerlegt.

@Che Netzer: Was soll uns dein Post sagen? Ableitung hat hiermit gar nichts zu tun. Und ich sage durchaus das der Kern Null ist. Das ist zwar hochgradig informell, hier gibt´s aber offensichtlich deutlich größere Probleme.

24.03.2012, 20:04

Che Netzer

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Statt "Ableitung" sollte da natürlich "Abbildung" stehen.
Ich wusste, dass ich mich da irgendwo vertippt habe; jetzt habe ich endlich die Stelle gefunden smile

smile

24.03.2012, 20:04

Em

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Mit anderen Worten:
Die Abbildungsmatrix ist korrekt, der Kern dieser Abbildungsmatrix ist ebenfalls korrekt, aber es handelt sich nicht um eine lineare Abbildung.

Zitat:

Das Produkt zweier Eintrage ab ist ein starkes Indiz für Nicht-Lineaarität.

Vermutlich würde der Dozent eine konkretere Begründung wollen.

Gilt als Begründung, dass die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung keine variablen Spaltenwerte beinhalten darf?
Oder lautet die Begründung, dass der Spaltenwert des Bildes nicht das Produkt zweier Spaltenwerte des Urbildes sein darf?

EDIT:
Ich könnte natürlich auch einfach den Beweis auf Linearität durchführen:
f(a+b) = f(a) + f(b) und k*f(a) = f(k*a)
Dabei würde es zum Widerspruch kommen.
Meine oben gestellte Frage bezieht sich lediglich darauf, sich die Schreibarbeit in einer Prüfung zu sparen und stattdessen eine logisch nachvollziehbare Begründung zu liefern.

24.03.2012, 20:07

Che Netzer

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Die Abbildungsmatrix ist nicht korrekt, es existiert keine Abbildungsmatrix.
Die Begründung, dass die Funktion nicht linear ist, würde wohl niemand verlangen. Wenn doch, kannst du einfach zeigen, dass f(x+y) nicht f(x)+f(y) ist. Z.B. mit x=(0,1) und y=(1,0).

mfg,
Ché Netzer

24.03.2012, 20:10

parkerstone

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Zitat:

Mit anderen Worten: Die Abbildungsmatrix ist korrekt, der Kern dieser Abbildungsmatrix ist ebenfalls korrekt, aber es handelt sich nicht um eine lineare Abbildung.

Nein. Wie ich bereits schrieb: Es gibt keine Matrix, die diese Abbildung beschreibt. Eine durch eine Matrix gegebene Abbildung ist immer linear.

Zitat:

Vermutlich würde der Dozent eine konkretere Begründung wollen.

Ja. Bastel dir ein Gegenbeispiel zu einer der Eigenschaften einer linearen Abbildung.

@che Netzer: So als kleiner Tipp:
Wenn du dich nicht in dereits betreute Threads einmischt hast du auch mehr Zeit über deine Posts nachzudenken.

24.03.2012, 20:10

Em

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Zitat:

Die Abbildungsmatrix ist nicht korrekt, es existiert keine Abbildungsmatrix.

Es handelt sich doch, wenn ich Dich und parkerstone richtig verstanden habe, um eine nicht-lineare Abbildung.
Demzufolge wäre doch die Matrix, die ich angegeben habe, eine nicht-lineare Abbildungsmatrix, oder nicht?
Was ist es dann?

Zitat:

Eine durch eine Matrix gegebene Abbildung ist immer linear.

Eine Matrix, die das gesuchte Ergebnis (ich vermeide bewusst den Begriff "Abbildung") erzeugt, habe ich ja bereits geschrieben.
Wenn gilt: f(x) = Ax, mit A wie oben beschrieben, warum sollte das dann keine Abbildung sein?

Beim "nicht-linear" gehe ich noch mit, aber bei "das ist keine Abbildung" steige ich aus.

24.03.2012, 20:13

parkerstone

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Möge Fidel Wimmer diesen Thread übernehmen.
Gab es hier nicht mal Regeln gegen das kapern eines Threads?

24.03.2012, 22:57

Em

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Zitat:

Demzufolge wäre doch die Matrix, die ich angegeben habe, eine nicht-lineare Abbildungsmatrix, oder nicht?

Um die Frage selbst zu beantworten:
Abbildungsmatrizen beschreiben lineare Abbildungen - nur lineare Abbildungen.
Demzufolge kann die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
keine Abbildungsmatrix sein.

Da ich das Ergebnis aber eindeutig durch eine Matrix beschreiben kann, bleibt die Frage "Was ist es dann?" weiterhin bestehen.

Weiterer Input ist willkommen! Danke!

24.03.2012, 23:46

lgrizu

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Zitat:

Möge Fidel Wimmer diesen Thread übernehmen.
Gab es hier nicht mal Regeln gegen das kapern eines Threads?

Jap, die gibt es, und nachdem Che bereits mehrere Male darauf hingewiesen wurde können wir davon ausgehen, dass er sich aus diesem Thread heraushält.

Machst du dann weiter parkerstone?

25.03.2012, 09:31

parkerstone

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Die Abbildung (und das ist auch eine, also darf sie auch so genannt werden.)
$\begin{eqnarray*} f:R² \to R²: (a,b) \mapsto (ab,a+b) \end{eqnarray*}$
ist nicht linear. Also kann es keine Matrix A geben mit f(x)=Ax.
So auch hier:
f(1,1)=(1,2), f(2,2)=(4,4) (Zeilen statt Spaltenvektoren aus Schreibfaulheit.)
$\begin{eqnarray*} M:=\begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
M(1,1)=(a,2) also a=1
M(2,2)=(2a,4), also a=2.
Dass kann aber nicht sein, denn eine Matrix hängt nicht von dem Vektor ab den man an die Matrix multipliziert..

Zitat:

Da ich das Ergebnis aber eindeutig durch eine Matrix beschreiben kann

Ums nochmal klar zu sagen: Kannst du nicht, dein M ist keine Matrix.

Zitat:

Demzufolge kann die Matrix [...] keine Abbildungsmatrix sein.

Wo siehst du einen Unterschied in diesen Begriffen.

Das alles hab´ich in diesem Thread eigentlich schon geschrieben, ging wohl ein bischen unter. unglücklich

unglücklich

25.03.2012, 09:52

Em

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Zitat:

Dass kann aber nicht sein, denn eine Matrix hängt nicht von dem Vektor ab den man an die Matrix multipliziert..

Wie nennt man dieses zueinander abhängige Gebilde dann?
Hast Du zufällig Quellen, die ich mir zu dem Thema näher ansehen kann?

Zitat:

Wo siehst du einen Unterschied in diesen Begriffen.

Ich ging davon aus, dass eine Matrix nur dann eine Abbildungsmatrix sei, wenn diese in einer linearen Abbildung aufträte.

Vielen Dank für Deine Hilfe!

25.03.2012, 10:05

parkerstone

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Zitat:

Wie nennt man dieses zueinander abhängige Gebilde dann?

f ist eine Abbildung. Dein M ist schlicht keine sinnvolle Konstruktion.

Zitat:

Hast Du zufällig Quellen, die ich mir zu dem Thema näher ansehen kann?

Den Wikipedia-Artikel zu Matrizen? Eigentlich gibt´s hier nicht viel zu lesen, du solltest dich vielleicht mit den Defintionen vertrauter machen, und das geht imho besser durch Übungsaufgaben als durch Lesen.

Zitat:

Ich ging davon aus, dass eine Matrix nur dann eine Abbildungsmatrix sei, wenn diese in einer linearen Abbildung aufträte

Da es zu jeder Matrix $\begin{eqnarray*} A\in Mat(r\times m, R) \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} R^m \to R^r, x\mapsto Ax \end{eqnarray*}$ kann jede matrix Abbildungmatrix sein.

25.03.2012, 10:14

sulo

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Zitat:

Original von parkerstone
Möge Fidel Wimmer diesen Thread übernehmen.
Gab es hier nicht mal Regeln gegen das kapern eines Threads?

Ja, gibt es, siehe Boardprinzip.
Bei solchen Angelegenheiten solltest du dich an die Mods wenden. Wir sind (auch) dazu da, Leute, die allzu stürmisch in fremde Threads schreiben, zu bremsen und auf die Regeln sowie die Konsequenzen bei Nichtbeachtung hinzuweisen.

smile

smile

25.03.2012, 10:19

Em

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Zitat:

Original von parkerstone

Zitat:

Wie nennt man dieses zueinander abhängige Gebilde dann?

f ist eine Abbildung. Dein M ist schlicht keine sinnvolle Konstruktion.

Vermutlich werden wir solche Abbildungen dann in höheren Semestern definieren?

Zitat:

Zitat:

Ich ging davon aus, dass eine Matrix nur dann eine Abbildungsmatrix sei, wenn diese in einer linearen Abbildung aufträte

Da es zu jeder Matrix $\begin{eqnarray*} A\in Mat(r\times m, R) \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} R^m \to R^r, x\mapsto Ax \end{eqnarray*}$ kann jede matrix Abbildungmatrix sein.

Stimmt.
Da ich nachweisen kann, dass meine Abbildung keine lineare Abbildung ist, kann mein M also auch keine Matrix darstellen, da M eine lineare Abbildung Ax beschreiben müsste, die nachweislich nicht existiert.

Anders würde es sich verhalten, wenn mein variabler Spaltenwert unabhängig vom zu multiplizierenden Vektor wäre, richtig? Wobei man dann mit jedem für a einzusetzenden Wert, eine andere lineare Abbildung erzeugen würde. Korrekt?

25.03.2012, 10:27

parkerstone

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Zitat:

Anders würde es sich verhalten, wenn mein variabler Spaltenwert unabhängig vom zu multiplizierenden Vektor wäre, richtig? Wobei man dann mit jedem für a einzusetzenden Wert, eine andere lineare Abbildung erzeugen würde.

Vollkommen richtig. Das ist meines Erachtens auch die Erkenntnis die du hier mitnehmen solltest.

Zitat:

Vermutlich werden wir solche Abbildungen dann in höheren Semestern definieren?

Das hier ist einfach eine Abbildung. Nicht mehr, nicht weniger.

25.03.2012, 10:53

Em

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Wunderbar!

Zitat:

Original von parkerstone

Zitat:

Vermutlich werden wir solche Abbildungen dann in höheren Semestern definieren?

Das hier ist einfach eine Abbildung. Nicht mehr, nicht weniger.

Aus reiner Neugier: Gibt es bei nicht-linearen Abbildungen denn kein Äquivalent zur Matrix in den linearen Abbildungen?
Jede lineare Abbildung kann durch $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ beschrieben werden. Jede nicht-lineare Abbildung durch ...?

EDIT:
Vergiss es, dass ist ein Gleichungssystem.

25.03.2012, 10:57

parkerstone

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Zitat:

Aus reiner Neugier: Gibt es bei nicht-linearen Abbildungen denn kein Äquivalent zur Matrix in den linearen Abbildungen?

Nein. Das macht die linearen Abbildungen ja speziell und relativ gut handhabbar dass es Matrizen gibt.

25.03.2012, 11:00

Em

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Danke.

Können wir den Thread als gelöst markieren?

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