Summe einer Reihe mit der Genauigkeit alpha

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24.03.2012, 20:05	toni-im-stress	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe einer Reihe mit der Genauigkeit alpha Meine Frage: hallo, kann jemand mir Sagen wie ich die Summe einer Reihe mit einer Genauigkeit berechne ? beispiel: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} } {3n^{2} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ =0,01 Meine Ideen: meine Idee wäre: für n = 5 dann ist $\begin{eqnarray} a_5 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{75} \end{eqnarray}$ 0,01333 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_n \end{eqnarray}$ = Genauigkeit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_5 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}-\frac{1}{12}+\frac{1}{27}-\frac{1}{48}+\frac{1}{75} \end{eqnarray}$ = 0,279 ist das richtig ?
24.03.2012, 21:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe einer Reihe mit der Genauigkeit alpha Dazu gibt es die Fehlerabschätzung für Leibniz-Reihen. Der absolute Fehler $\begin{eqnarray} \vert s-s_n\vert \end{eqnarray}$ ist kleinr gleich $\begin{eqnarray} \vert a_n\vert \end{eqnarray}$ , wobei s der Grenzwert der Reihe ist, s_n die n-te Partialsumme und a_n das n-te Glied der Reihe/Folge. Die Genauigkeit bei Berechnung der n-ten Partialsumme ist also höchstens 1/3(n+1)², wenn ich nichts verwechsle. Dann setzt du 1/3(n+1)²<0,01 und stellst nach n um. mfg, Ché Netzer
24.03.2012, 21:14	toni-im-stress	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe einer Reihe mit der Genauigkeit alpha hallo Ché Netzer, da kommt n= 1 bzw n=-1 was hat das zu bedeuten ? mfg
24.03.2012, 21:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe einer Reihe mit der Genauigkeit alpha War bei dir (n+1)² auch im Nenner? Umgeformt komme ich auf 100/3<(n+1)². mfg, Ché Netzer
24.03.2012, 21:34	toni-im-stress	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe einer Reihe mit der Genauigkeit alpha $\begin{eqnarray} \frac{1}{3(n+1)^{2} } \leq 0,010 <br /> <br /> 1 \leq 0,03n^{2}+0,06n+0,030 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \leq 1 \wedge 1\geq -1 \end{eqnarray}$
24.03.2012, 21:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe einer Reihe mit der Genauigkeit alpha Ich würde ja die Wurzel ziehen, anstatt die binomische Formel anzuwenden. Aber wie kommst du auf die letzte Zeile?
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24.03.2012, 21:46	toni-im-stress	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe einer Reihe mit der Genauigkeit alpha also nach binomische Formel kommt n= 1 oder n=-1 nachdem ich wurzel gezogen habe kommt n größer -1 raus. aber was hat das mit der Genauigkeit zu tun ? natürlich wenn n überhaupt größer -1 wäre ? mfg
24.03.2012, 21:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe einer Reihe mit der Genauigkeit alpha Ich erhalte folgendes: 1/3(n+1)² < 0,01 100/3 < (n+1)² $\begin{eqnarray} \frac{10}{\sqrt{3}}<n+1 \end{eqnarray}$ 5,77 < n+1 4,77 < n Das bedeutet: Wenn n größer als 4,77... ist (wenn man also mindestens die ersten 5 Summanden berechnet), ist die Abweichung zum exakten Wert der Reihe kleiner als 0,01.
24.03.2012, 22:00	toni-im-stress	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe einer Reihe mit der Genauigkeit alpha ich weiß es nicht warum es nicht bei mir geklappt hat aber gut gemacht. ich muss denke ich mal in Zukunft besser aufpassen obwohl ich gedacht habe ich hätte alles richtig gemacht. vielen dank für deine Hilfe mfg
24.03.2012, 22:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur zum Vergleich: Aus $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \end{eqnarray}$ kann man auf $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{3n^2} = \frac{1}{3} \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} - 2\cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} \right) = \frac{\pi^2}{36} \end{eqnarray}$ schließen.
24.03.2012, 22:48	toni-im-stress	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo wie kommst du auf $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi ^{2} }{6} \end{eqnarray}$ mfg
24.03.2012, 22:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht hier zu weit - ich will dich nicht von dem dich hier interessierenden numerischen Aspekt dieser Aufgabe ablenken. Jedenfalls ist der Wert an sich fast zum Allgemeinwissen über Reihen zu zählen. P.S.: Wenn es dich wirklich, wirklich interessiert, dann schau mal bei "Riemannsche Zetafunktion" vorbei, speziell beim Funktionswert $\begin{eqnarray} \zeta(2) \end{eqnarray}$ .
24.03.2012, 23:00	toni-im-stress	Auf diesen Beitrag antworten »
trotzdem danke

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