Geometrische Reihe, Stochastik

24.03.2012, 21:52

Gast11022013

Geometrische Reihe, Stochastik

Meine Frage:
Hi,

ich weiß nicht ob ich folgende Aufgabe so richtig habe:

Beim "Mensch-ärger-dich-nicht" kann man das Spiel nur beginnen, wenn eine Sechs fällt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim i-ten Wurf(i=1,2,3,4,.....,n) eine Sechs fällt. Bei der Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten tritt eine geometrische Folge auf. Welches Bildungsgesetz hat die geometrische Folge?

Meine Ideen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Sechs fällt liegt ja bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ .

Die gegen Wahrscheinlichkeit wäre ja $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6} \end{eqnarray*}$ .

Ich habe mir die gegen Wahrscheinlichkeit angeguckt.

Es sollte einfach $\begin{eqnarray*} a_n=1-\frac{5}{6}^n \end{eqnarray*}$ sein.

Wars das schon??
Ich glaube die Aufgabe ist in dem Buch als besonders schwer gekennzeichnet und wenndas die Lösung ist, dann wars ja nicht sonderlich schwer, weshalb ich auch zweifel und euch frage. smile

Danke im Voraus

Mfg

24.03.2012, 22:16

Kasen75

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Hallo,

Wahrscheinlichkeit beim 1. Mal eine 6 zu würfeln: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
Wahrscheinlichkeit erst beim 2. Mal eine 6 zu würfeln: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6}*\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlichkeit erst beim 3. Mal eine 6 zu würfeln: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6}^2*\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlichkeit erst beim 4. Mal eine 6 zu würfeln: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6}^3*\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

....

Wahrscheinlichkeit erst beim n. Mal eine 6 zu würfeln: $\begin{eqnarray*} \frac{5}{6}^n*\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Und diese Wahrscheinlichkeiten muss man noch addieren, um zu ermitteln wie groß die Wahrscheinlichkeit ist bei n Würfen eine 6 zu würfeln. Da ergibt sich dann auch eine geometrische reihe. Dabei kann man die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ vor das Summenzeichen ziehen.

Das wäre meine Idee. Würdest du mir da zustimmen?

Mit freundlichen Grüßen

24.03.2012, 22:25

Gast11022013

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Die Idee hatte ich Ehrlichgesagt auch schon.
Der feine Unterschied ist das du in dem Bezug auch den Begriff des Summenzeichen genannt hast, worauf ich nicht geachtet habe.

Dieses Zeichen haben wir zwar noch nie im Unterricht gebraucht oder besprochen jedoch habe ich mich schon ein wenig damit beschäftigt.

Deine Ausführung hört sich plausibel an.

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{6}\sum\limits_{k=1}^n (\frac{5}{6})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Dann wäre auch geklärt wieso die Aufgabe als schwer gekennzeichnet ist.
Man kann sie ja garnicht lösen, wenn man das wissen nicht vermittelt kriegt.
Ich hab die Aufgabe aber aus eigenem Interesse probiert. Es war nicht teil der Hausaufgabe oder ähnlichem.

Bist du dir den nicht Sicher mit der Lösung??
Ansonsten würde ich gerne noch eine andere Meinung dazu hören. smile

Edit: Mir fällt gerade auf, dass die Lösung mit dem Summenzeichen mit meiner über ein stimmt.

24.03.2012, 23:32

Kasen75

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Hallo,

das mit dem Summenzeichen ist glaub ich doch nicht der Aufgabenstellung entsprechend. Man soll ja nur berechnen die Wahrscheinlichkeit dass beim i-ten Wurf eine Sechs fällt. Bei dieser Fragestellung einfach das Summenzeichen weglassen: $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{6}\cdot(\frac{5}{6})^{n-1} \end{eqnarray*}$
Das steht ja sogar, fast wortgleich wie in der Aufgabenstellung, in meinem Post:

Zitat:

Wahrscheinlichkeit erst beim n. Mal eine 6 zu würfeln: $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{6})^{n-1}*\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Mit freundlichen Grüßen

24.03.2012, 23:46

Gast11022013

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Demnach läge die Wahrscheinlichkeit für eine 6 im 100tem Wurf bei

0,000000002

Ich denke also du meinst die Gegenwahrscheinlichkeit, oder es ist falsch.

So würde es nicht mit meiner Lösung übereinstimmen, die ja mit der Summenzeichenlösung noch übereinstimmte.
Das kann natürlich auch daran liegen, dass nicht mehr aufsummiert wird.

Verzeih mir wenn ich deiner Lösung misstraue, aber ich würde gerne noch eine absichernde Meinung dazu hören. smile

25.03.2012, 00:01

Kasen75

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Hallo,

ich bins noch mal. Du musst die ja vorstellen, dass du 99 Mal keine sechs würfelst. Und beim 100-sten Mal eine 6. Da ist die Wahrscheinlichkeit die du ausgerechnet hast weder besonders gering noch besonders hoch. Rein vom Gefühl her. Aber die Formel ist eigentlich logisch:

99 Mal keine sechs würfeln: $\begin{eqnarray*} (\frac{5}{6})^{99} \end{eqnarray*}$
Beim letzten Wurf eine sechs würfeln: $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{6})^{1} \end{eqnarray*}$

Also von der Logik her, kann ich mir nur zustimmen. Meiner Darstellung kannst du gerne misstrauen. Einfach etwas unkritisch zu übernehmen ist nie gut. Vielleicht kannst du aber Dir selber vertrauen. Wenn du in deinen Überlegungen zum selben Schluss kommst wie ich, dann kannst du das mit ruhigem Gewissen erst mal als richtig hinnehmen, bis Dir jemand das Gegenteil beweist.

Mit freundlichen Grüßen.

25.03.2012, 01:47

Gast11022013

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Jetzt wo du es mir nochmal vor Augen geführt hast, da vertraue ich deinem Urteil. Augenzwinkern

Danke für die Hilfe.

Wink

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