Ring der ganzen Zahlen

24.03.2012, 22:10

beweisgnom

Ring der ganzen Zahlen

hoi

Ich soll diese Regel beweisen:

$\begin{eqnarray*} 0 * a = 0 \end{eqnarray*}$

Als beweis lös ich diese Gleichung:
$\begin{eqnarray*} 0*a+x = 0*a \end{eqnarray*}$

Mit dem Axiom R3 das lautet :
$\begin{eqnarray*} 0+a=a \end{eqnarray*}$

bekomm ich dann:
$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

weil:
$\begin{eqnarray*} 0*a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0+x = x \end{eqnarray*}$
und dann eben x = 0

stimmt das so??

Gruß

24.03.2012, 22:17

galoisseinbruder

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Zitat:

weil: $\begin{eqnarray*} 0*a = 0 \end{eqnarray*}$

Damit benutzt du die Behauptung im Beweis der Behauptung, ergo kein Beweis.
Und warum sollte x=0 die Behauptung beweisen.

Betrachte: $\begin{eqnarray*} (0+0)\cdot a \end{eqnarray*}$

24.03.2012, 22:26

beweisgnom

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Also ich dachte x = 0 wäre ok weil es doch eine eindeutige Lösung x in Z geben muss? Und mit x = 0 geht die Gleichung ja auf?
Ja also die Lösung mit x = 0*a kenn ich schon. Es soll aber noch eine zweite Lösung geben mit x = 0 verwirrt

Danke für die Antwort !
Gruß

24.03.2012, 22:37

galoisseinbruder

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Woher weißt du dass es eine eindeutige Lösung geben muss?
Wieso ist 0*a eine?

Dein Weg ist wenn überhaupt zielführend, mindestens umständlich.

Normalerweise beweist die Behauptung durch Berechnung von $\begin{eqnarray*} (0+0)\cdot a \end{eqnarray*}$ auf 2 verschiedene varianten.

24.03.2012, 22:47

beweisgnom

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Also 0*a ist eine Lösung weil $\begin{eqnarray*} 0*a+0*a = (0+0) *a = 0 *a \end{eqnarray*}$ (0+0 = 0 wegen: neutrales Element der Addition) . Und es muss eine eindeutige Lösung sein weils ja so in den Axiomen steht, also weil die Addition eine abelsche Gruppe ist in der es eine eindeutige Lösung von a+x=b geben muss? Hab ich das so richtig verstanden? Oder kann man das hier nicht anwenden weil noch eine Multiplikation dabei ist? Sonst wäre es ja keine abelsch. Gruppe verwirrt

und eindeutige Lösung kann auch heißen mehrere Lösungen???)

24.03.2012, 22:55

galoisseinbruder

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0*a+0*a = (0+0) *a = 0 *a \end{eqnarray*}$ (

Die Gleichung ist vollkommen richtig. Wie kann man eine Gleichung x+y=x vereinfachen?

Zitat:

Und es muss eine eindeutige Lösung sein weils ja so in den Axiomen steht

Nochmal: Wo genau bitte steht das?

Zitat:

eindeutige Lösung kann auch heißen mehrere Lösungen

kurz: Nein.

Der Begriff der Lösung einer Gleichung finde ich in diesem Zusammenhang ungut.

24.03.2012, 23:10

beweisgnom

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Zitat:

Original von galoisseinbruder

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0*a+0*a = (0+0) *a = 0 *a \end{eqnarray*}$ (

Die Gleichung ist vollkommen richtig. Wie kann man eine Gleichung x+y=x vereinfachen?

Zitat:

Und es muss eine eindeutige Lösung sein weils ja so in den Axiomen steht

Nochmal: Wo genau bitte steht das?

Zitat:

eindeutige Lösung kann auch heißen mehrere Lösungen

kurz: Nein.

Der Begriff der Lösung einer Gleichung finde ich in diesem Zusammenhang ungut.

Vielleicht hätte ich noch dazu sagen sollen das es sich um endliche Körper handelt(ka ob das jetzt einen Unterschied gemacht hat):

Ich zitiere mal den Abschnitt:

Zitat:

Sei R(mit addition, multip., für zwei Elemente usw.) Bezüglich der Addition ist R eine abelsche Gruppe, man nennt sie die additive Gruppe von R(+) von R. Dies bedeutet , dass die Addition assoziativ und kommutativ ist, ein neutrales Element 0 aus R existiert und die Gleichung a+x=b in R eindeutig lösbar ist.

(R ist Z)

Ja und x+y=x kann ich vereinfachen wenn ich x+0 =x machen oder?

Gruß

24.03.2012, 23:14

galoisseinbruder

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Zitat:

Vielleicht hätte ich noch dazu sagen sollen das es sich um endliche Körper handelt(ka ob das jetzt einen Unterschied gemacht hat):

Du hast bis jetzt die ganze Zeit von den ganzen Zahlen gesprochen.

Das alles ist aber unerheblich denn die Aussage $\begin{eqnarray*} 0 * a = 0 \end{eqnarray*}$ gilt in jedem Ring.
Werde dir bitte klar was genau du hier beweisen willst, insbesondere was die Voraussetzungen sind.

Zitat:

Ja und x+y=x kann ich vereinfachen wenn ich x+0 =x machen oder?

Das ist kein Vereinfachen, das ist einsetzen. Erinnerst du dich noch an Termumformungen?

24.03.2012, 23:26

beweisgnom

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Ja also da es um endliche Körper(deren multip. und add. man auf ganze Zahlen zurück führt(weiß du aber eh schon alles bestimmt, nur so zur Einleitung)) wird im Text erstmal deren Rechenoperationen untersucht. Jetzt nach den 5 Gesetzen (add., mult. asso und kommu, neutral add. und mult. , eindeutige lösung in Z, und distributivges.) kam nach den Potenzregeln und Nullteilerfreiheit noch die Folgerung aus dem Distributivgesetz, und 0*a = 0 soll daraus folgen(verklammert add. und mult.)

x+y=x würd ich dann zu y= x-x vereinfachen?

Gruß

24.03.2012, 23:32

galoisseinbruder

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Zitat:

deren multip. und add. man auf ganze Zahlen zurück führt (weiß du aber eh schon alles bestimmt, nur so zur Einleitung )

Einspruch: Das gilt a priori nur für Körper deren Mächtigkeit eine Primzahl ist.

x+y=x auf beiden Seiten -x addieren, folgt
y=0

Wende das auf

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0*a+0*a = (0+0) *a = 0 *a \end{eqnarray*}$

24.03.2012, 23:46

beweisgnom

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Zitat:

Original von galoisseinbruder

Zitat:

deren multip. und add. man auf ganze Zahlen zurück führt (weiß du aber eh schon alles bestimmt, nur so zur Einleitung )

Einspruch: Das gilt a priori nur für Körper deren Mächtigkeit eine Primzahl ist.

x+y=x auf beiden Seiten -x addieren, folgt
y=0

Wende das auf

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0*a+0*a = (0+0) *a = 0 *a \end{eqnarray*}$

Woas? Gibst du sicher? Also das steht auch im Buch "Letztlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt)" Aber das dürfte doch stimmen mit der Primzahl? In späteren Kapiteln kommt irgendwas davon. Naja egal, weiter ^^

Also dann würde ich rausbekommen:

0*a+0*a= (0+0)*a = 0*a / -0*a

0*a = 0*a-0*a ergibt dann 0 = 0 ??Also stimmt es?

Gruß

24.03.2012, 23:58

galoisseinbruder

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Zitat:

0*a = 0*a-0*a ergibt dann 0 = 0 ??Also stimmt es?

Du vergisst schon wieder was du zeigen willst.
0*a-0*a=0, denn -0*a ist das additive Inverse von 0*a.
Also gilt:
0*a=0 und das ist was zu zeigen war.

Zitat:

Letztlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt)

Ich kenne das Buch und den Kontext nicht. Ich würde diesen Satz aber nie so schreiben. Und in der Regel bin ich mir durchaus sicher mit dem was ich schreibe, so auch hier

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