Extremstelle und Wendestelle

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21.01.2007, 12:56	zickezacke	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremstelle und Wendestelle Hallo Leute! Ich soll lediglich die Extremstelle (+Ortskurve) und die Wendestelle einer Funktionsschar berechnen und wollte euch um eure Bestätigung, Korrektur und/ oder Unterstützung bitten! Vielen Dank schon einmal! $\begin{eqnarray} fk(x)= \frac{1}{x-1}- \frac{1}{x-k} \end{eqnarray}$ und als Ableitung habe ich: $\begin{eqnarray} fk(x)= -\frac{1}{x-1}^2 + \frac{1}{x-k}^2 \end{eqnarray}$ soweit hoffentlich richtig!?
21.01.2007, 12:58	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremstelle und Wendestelle Wenn du noch Klammern setzt und/oder die Quadrate in den Nenner nimmst, ist es richtig. $\begin{eqnarray} f_k(x)=-\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{(x-k)^2} \end{eqnarray}$
21.01.2007, 13:02	zickezacke	Auf diesen Beitrag antworten »
hups ja! So war es auch gemeint schäm nur wie mach ich weiter wenn ich das = 0 setze? nehm ich am Besten mal (x-1)²?
21.01.2007, 13:06	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Das könntest du machen. Alternativ könntest du auch erstmal alles auf den Hauptnenner bringen.
21.01.2007, 13:27	ullilili	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hab ich auch gemacht und komme dann auf: 2x-2kx-1+k²=0 und ab hier weiß ich nicht wie ich weitermachen soll...
21.01.2007, 13:38	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremstelle und Wendestelle Ja, das ist richtig. Für den weiteren Verlauf kannst du $\begin{eqnarray} 2x-2kx=2x(1-k) \end{eqnarray}$ umformen und dann bequem nach x auflösen.
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21.01.2007, 13:49	zickezacke	Auf diesen Beitrag antworten »
und was mache ich mit 1 und k²?
21.01.2007, 13:54	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Das k wird wie eine ganz normale Zahl behandelt. Stelle dir vor, die Gleichung würde $\begin{eqnarray} 5x+3=0 \end{eqnarray}$ heißen. Ich vermute, hier könntest du problemlos nach x auflösen. Das, was du mit der 3 machst, machst du in deinem Beispiel mit $\begin{eqnarray} -1+k^2 \end{eqnarray}$ . Der letzte Schritt ist dann auch analog zum vereinfachten Beispiel.
21.01.2007, 14:08	zickezacke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich verstehe dich immer noch nicht ganz, denn wenn ich tatsächlich ausklammere, habe ich da folgendes stehen : $\begin{eqnarray} 2x(1-k-\frac{1}{2x}+ \frac{k^2}{2x}) = 0 \end{eqnarray}$ und das hilft mir keineswegs weiter
21.01.2007, 14:12	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du brauchst nicht aus allen Summanden x ausklammern. Das hilft dir tatsächlich nicht weiter. $\begin{eqnarray} 2x-2kx-1+k^2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x(1-k)-1+k^2=0 \end{eqnarray}$ Jetzt $\begin{eqnarray} -1+k^2 \end{eqnarray}$ auf die andere Seite bringen. Findest du den letzten Schritt dann allein?
21.01.2007, 14:15	zickezacke	Auf diesen Beitrag antworten »
kommt dann etwa raus: $\begin{eqnarray} x= \frac{1-k}{2} \end{eqnarray}$ ?
21.01.2007, 14:16	zickezacke	Auf diesen Beitrag antworten »
oder 1+k im Zähler!?
21.01.2007, 14:18	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist falsch. Wie kommst du darauf? Ich vermute, du hast falsch gekürzt?!? Vor dem kürzen kommst du im Zähler mit der dritten binomischen Formel auf $\begin{eqnarray} (1-k^2)=(1-k)(1+k) \end{eqnarray}$ Dann kannst du kürzen. EDIT Ja, damit kommst du auf 1+k im Zähler.
21.01.2007, 14:47	zickezacke	Auf diesen Beitrag antworten »
als y-Wert hab ich dann raus: (2/k)-2
21.01.2007, 14:54	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das habe ich nicht. Was hast du wo eingesetzt? Hast du auch schon nachgeprüft, ob es sich wirklich um ein lokales Extremum handelt? Es könnte ja auch ein Sattelpunkt sein. Es wäre nett, wenn du auch kurz schreiben würdest, was du gemacht hast. So kann ich immer nur raten, wo dein Fehler liegt.
21.01.2007, 15:13	zickezacke	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ja klar, sorry: hab auch n kleinen Fehler entdeckt, deshalb gehe ich ma Schritt für Schritt voran: $\begin{eqnarray} f(\frac{1+k}{2})= \frac{1}{(\frac{1+k}{2} -1)^2}- \frac{1}{(\frac{1+k}{2}-k)^2 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{(\frac{1+k^2}{4} -(1+k)+1)}- \frac{1}{(\frac{1+k^2}{4}-2k+k^2) } \end{eqnarray}$
21.01.2007, 15:17	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir nochmal genau an, wie deine Funktion f aussieht. Du hast es in die erste Ableitung eingesetzt. Und dafür sollte (wenn du alles richtig gemacht hast) null rauskommen. Setze es also nochmal in $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ein Hast du auch schon nachgeprüft, ob es sich wirklich um ein Extremum handelt, indem du es in die zweite Ableitung eingesetzt hast?
21.01.2007, 15:51	zickezacke	Auf diesen Beitrag antworten »
ne, das brauche ich gar nicht zu machen! Also, hatte ich vorhin doch nichts falsch gemacht...dann schreib ich mal meinen vorherigen Weg auf: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(\frac{1+k}{2} -1)}- \frac{1}{(\frac{1+k}{2}-k) } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{2}{1+k-1}- \frac{2}{1+k-k } \end{eqnarray}$
21.01.2007, 15:57	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Umformung ist nicht richtig. Wenn du mit 2 erweiterst, dann kommt da folgendes raus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(\frac{1+k}{2} -1)}\cdot \frac{2}{2 }- \frac{1}{(\frac{1+k}{2}-k) }\cdot \frac{2}{2}= \frac{2}{1+k-2}- \frac{2}{1+k-2k } \end{eqnarray}$ Alternativ kannst du auch erst im Nenner alles auf einen Bruch bringen, also $\begin{eqnarray} \frac{1+k}{2}-1=\frac{1+k-2}{2} \end{eqnarray}$ und danach den Doppelbruch auflösen.
21.01.2007, 16:03	zickezacke	Auf diesen Beitrag antworten »
also kommt da raus: (4/-1+k)?
21.01.2007, 16:06	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Klammern richtig setzt, dann ja y=4/(-1+k)
21.01.2007, 16:10	zickezacke	Auf diesen Beitrag antworten »
wunderbar! Vielen Dank! Dabei belasse ichs dann mal

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