Filter/ Ultrafilter

25.03.2012, 00:06

Gast11022013

Filter/ Ultrafilter

Meine Frage:

Man zeige:

Jeder Filter $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ auf einer Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist Durchschnitt von Ultrafiltern auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . (Auswahlaxiom!)

Meine Ideen:
Moin, ich könnte einen Ansatz gut gebrauchen, denn ich stehe ahnungslos da.

Zeigen muß ich ja irgendwie sowas:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}=\bigcap\left\{\mathcal{G}~|~\mathcal{G}~\text{ist Ultrafilter}\right\} \end{eqnarray*}$

Was ich weiß, ist, daß jeder Filter in einem Ultrafilter enthalten ist. Aber ob (und wenn: wie) man das hier benutzen muß, weiß ich nicht.

Edit: Ist eigentlich der Schnitt von Filtern ebenfalls ein Filter? Wenn ja, hätte ich vielleicht eine Idee für die eine Inklusion.

25.03.2012, 01:50

Ungewiss

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Der Schnitt von einpunktfiltern zu verschiedenen Punkten enthält die leere menge, ist also insbesondere kein filter.

Ich denke mal, die Ultrafilter sollen Obermenge vom Filter F sein. Dann ist die Linke Inklusion klar.

Wenn eine Menge M in allen Ultrafiltern liegt, aber nicht im Filter F, dann hat das Komplement der Menge einen nichtleeren Schnitt mit jeder Menge aus F, sonst läge die Menge in F.

Dann kann man $\begin{eqnarray*} \{ A\cap\overline{ M} : A\in\mathcal{F}\} \end{eqnarray*}$ als Filterbasis eines F enthaltenden Filters benutzen, zu diesem gibts einen Ultrafilter, der ihn enthält und daraus folgt...

25.03.2012, 12:52

Gast11022013

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Zitat:

Original von Ungewiss
Der Schnitt von einpunktfiltern zu verschiedenen Punkten enthält die leere menge, ist also insbesondere kein filter.

Was meinst Du damit?

Ich dachte nach meinen Überlegungen nämlich, daß der Schnitt von Filtern ein Filter ist:

Wenn beispielsweise $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}, \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ Filter auf X sind, so doch m.E. auch

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\cap\mathcal{G}=\left\{A\subseteq X~|~A\in\mathcal{F}\wedge A\in\mathcal{G}\right\} \end{eqnarray*}$ .

Du gibst hier anscheinend ein Gegenbeispiel an, aber das Gegenbeispiel verstehe ich nicht.

Einpunktfilter sind Filter, die aus nur einem Punkt bestehen?

25.03.2012, 13:26

Ungewiss

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Achso, ich hab mir unter dem Schnitt was anderes vorgestellt, nämlich dass man die mengen in den Filtern schneidet, das ist naturlich unsinn. Ich kann jetzt nicht auf anhieb ob der schnitt den du da aufgeschrieben hast die Filtereigenschaften erfüllt, aber mein Gefühl sagt dass es stimmen sollte.

25.03.2012, 13:37

Gast11022013

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Ich dachte anfänglich, ich würde diese Tatsache, daß der Schnitt von (Ultra)Filtern ein Filter ist, irgendwie für die Inklusion " $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ " brauchen, aber dem ist wohl doch nicht so.

25.03.2012, 15:39

Gast11022013

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Zitat:

Original von Ungewiss

Wenn eine Menge M in allen Ultrafiltern liegt, aber nicht im Filter F, dann hat das Komplement der Menge einen nichtleeren Schnitt mit jeder Menge aus F, sonst läge die Menge in F.

Dann kann man $\begin{eqnarray*} \{ A\cap\overline{ M} : A\in\mathcal{F}\} \end{eqnarray*}$ als Filterbasis eines F enthaltenden Filters benutzen, zu diesem gibts einen Ultrafilter, der ihn enthält und daraus folgt...

Ich versuche also mal die Inklusion " $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ ":

Sei $\begin{eqnarray*} A\subseteq X, A\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} A\in\bigcap\underbrace{\left\{\mathcal{G}~|~\mathcal{G}\text{ ist Ultrafilter auf X mit }\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}\right\}}_{=:M} \end{eqnarray*}$ .

(In meinem ersten Beitrag habe ich diesen Zusatz $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}\supseteq\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ für die Ultrafilter des Schnitts vergessen.)

Angenommen, $\begin{eqnarray*} A\notin\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \complement A\cap F\neq\emptyset~\forall~F\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\left\{F\cap\complement A~|~F\in\mathcal{F}\right\} \end{eqnarray*}$ ist eine Filterbasis (den Nachweis der Eigenschaften ergänze ich unten) und der von $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ erzeugte Filter $\begin{eqnarray*} \mathcal{D} \end{eqnarray*}$ lautet

$\begin{eqnarray*} \mathcal{D}=\left\{S\subseteq X~|~\exists~F\cap\complement A, F\in\mathcal{F}: F\cap\complement A\subseteq S\right\} \end{eqnarray*}$ .

Es gilt $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\subseteq\mathcal{D} \end{eqnarray*}$ . Außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \mathcal{D}\subseteq\mathcal{U} \end{eqnarray*}$ für einen Ultrafilter $\begin{eqnarray*} \mathcal{U} \end{eqnarray*}$ , da jeder Filter in einem Ultrafilter enthalten ist.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathcal{F}\subseteq\mathcal{D}\subseteq\mathcal{U} \end{eqnarray*}$

Ist nun $\begin{eqnarray*} A\notin\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ , kann auch nicht gelten $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{U} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}\in M \end{eqnarray*}$ . Das ist ein Widerspruch zur Annahme, daß $\begin{eqnarray*} A\in M \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{G}~\forall~\mathcal{G}\in M \end{eqnarray*}$ . Also gilt $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

Noch zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ ist Filterbasis.

(1) $\begin{eqnarray*} \emptyset\notin\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} F\cap\complement A\neq\emptyset~\forall F\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ (andernfalls wäre $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ , was nach Annahme gerade nicht gelten soll).

(2) $\begin{eqnarray*} B_1:=F_1\cap\complement A\in\mathcal{B} (F_1\in\mathcal{F}), B_2:=F_2\cap\complement A\in\mathcal{B} (F_2\in\mathcal{F})\Rightarrow~\exists~B\in\mathcal{B}\text{ mit }B\subseteq B_1\cap B_2 \end{eqnarray*}$

Nämlich: $\begin{eqnarray*} B:=\complement A\cap (F_1\cap F_2) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} F_1\cap F_1\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ Filter

(3) $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ , da beispielsweise $\begin{eqnarray*} X\cap\complement A=\complement A\in\mathcal{B} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich genug geschrieben. Augenzwinkern

Ich hoffe, daß es so i.O. ist. So ein schlechtes Gefühl habe ich nicht.

25.03.2012, 16:00

Ungewiss

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Das war meine Idee smile

Also so hätte ich es auch gemacht. Man kann den Widerspruch vielleicht noch klarer herausstellen, in diesem Ultrafilter liegt als das Komplement von A und er enthält F, das geht nicht, weil die Annahme war, dass A in allen F enthaltenden Ultrafiltern liegt.

25.03.2012, 16:14

Gast11022013

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Danke für Deine große Hilfe.

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