Kombinatorik-Aufgaben

25.03.2012, 03:00	Finotier	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik-Aufgaben Meine Frage: Hallo zusammen! Ich habe ein paar Fragen zu Kombinatorik bzw. benötige leichte Denkanstöße. Die Formeln für Permutation, Tupel, Kombination, Multimenge und Stirlingzahlen sind bekannt, aber manchmal sieht man ja leider den Wald vor Bäumen nicht... 1. Wieviele verschiedene Passwörter der Länge 4 über einem Alphabet mit 5 Zeichen gibt es, in denen mindestens ein Buchstabe doppelt vorkommt? 2. Wie viele Äquivalenzrelationen R gibt es, auf einer 7-elementigen Menge, so dass R genau drei Äquivalenzklassen von der Mächtigkeit 2, 2 und 3 hat? 3. Wie viele 6-stellige Dezimalzahlen gibt es, in denen keine zwei gleichen Ziffern hintereinander vorkommen? 4. Wie viele Wörter der Länge 7 lassen sich aus dem Buchstabenvorrat BBBBLAAA bilden? Meine Ideen: zu 1. Erstmal alle Möglichkeiten ausrechnen, das sind $\begin{eqnarray} 5^{4}=625 \end{eqnarray}$ Stück. Das logische Gegenteil von "mindestens ein Buchstabe doppelt" ist "keiner doppelt" oder auch "alle unterschiedlich". Nur Unterschiedliche Zeichen bekommt man mit $\begin{eqnarray} 5432=120 \end{eqnarray}$ , mussen $\begin{eqnarray} 625-120=505 \end{eqnarray}$ rechnen. War es das schon oder wird da momentan noch irgendwas doppelt oder zu wenig gezählt? zu 2. Die Anzahl aller Äquivalenzrelationen ist ja $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n S_{n,k} \end{eqnarray}$ , (Stirlingzahl zweiter Art), also gleich $\begin{eqnarray} 0+1+63+301+350+140+21+1=877 \end{eqnarray}$ Stück. Und jetzt? :-/ zu 3. Die Anzahl aller 6-Stelligen Dezimalzahlen ist $\begin{eqnarray} 91010101010=900000 \end{eqnarray}$ , da die erste Zahl ja nicht 0 sein darf. Das mit dem "hintereinander" zerschießt mir mental jedes Konzept... Wie ist es denn mit z.B. 344044 oder 399555, das wird ja alles mehrfach gezählt... Das logische Gegenteil von "keine zwei hintereinander" ist ja "mindestens zwei hintereinander" aber wie drücke ich das aus? zu 4. Da es 8 Zeichen gibt und man nur 7 haben darf und es zudem nur 3 Unterschiedliche sind, gibt es nur 3 Möglichkeiten eines Vorrats: Kein B (BBBLAAA), kein L (BBBBAAA) und kein A (BBBBLAA). Kein B: $\begin{eqnarray} \frac{7!}{3!3!}=140 \end{eqnarray}$ Kein L: $\begin{eqnarray} \frac{7!}{4!3!}=35 \end{eqnarray}$ Kein A: $\begin{eqnarray} \frac{7!}{4!2!}=105 \end{eqnarray*}$ Wenn ich mich nicht verrechnet hab also in Summe 280. Stimmt das? Vielen vielen Dank für eure Hilfe im Voraus! Finotier
25.03.2012, 11:30	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik-Aufgaben 1) Richtig. 2) Dazu brauchst du keine Stirlingzahlen. Für die erste Äquivalenzklasse wählst du 2 Elemente aus den 7 aus, für die zweite Äquivalenzklasse dann noch mal 2 aus den verbleibenden 5 Elementen. Die dritte Äquivalenzklasse mit 3 Elementen ergibt sich danach von allein. Du musst nur beachten, dass die ersten beiden Äquivalenzklassen auch in umgekehrter Reihenfolge auftreten können. 3) Das ist ganz leicht. Für die 2. und die folgenden Ziffern hast du auch nur 9 Möglichkeiten, weil sich ja jede von der vorigen Ziffer unterscheiden muss. 4) Richtig.
25.03.2012, 12:10	Finotier	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 2. Au Backe! Manchmal ist man aber auch einfach doof... $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}}{2!} = \frac{15 10 * 1}{2} = 75 \end{eqnarray}$ zu 3. also $\begin{eqnarray} 900000-(998765)=900000-136080=763920 \end{eqnarray}$ Vielen Dank Huggy!
25.03.2012, 13:17	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Was rechnest du da bei 3)? Die richtige Antwort ist doch einfach $\begin{eqnarray} 9^6 \end{eqnarray}$ .

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