Ableitung der Gammafunktion nachweisen

25.03.2012, 12:55

isiRHS

Ableitung der Gammafunktion nachweisen

Meine Frage:
es geht darum nachzuweisen das $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! e^{ -t} x^{t-1} (ln t)^n \, dt \end{eqnarray*}$ die n-te Ableitung der Gammafunktion ist.

Meine Ideen:
Ich habe zuerst versucht selbst Ableitungen zu bilden, bin dann aber bei Recherchen im Internet zur Prüfung von n-ten Ableitung auf die Variante der vollständigen Indunktion gestoßen. Also hab ich n=1 angenommen, bin dann aber am natürlichen Logarithmus gescheitert.
Ist die vollständige Induktion hier der richtige Weg? Und wenn ja was mache ich mit dem Logarithmus? wie kann ich den "auflösen"?

25.03.2012, 12:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von isiRHS
Meine Frage:
es geht darum nachzuweisen das $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! e^{ -t} x^{t-1} (ln t)^n \, dt \end{eqnarray*}$ die n-te Ableitung der Gammafunktion ist.

Sollte es nicht eher $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{ -t} t^{x-1} (\ln t)^n ~ \dd t \end{eqnarray*}$ heißen???

25.03.2012, 15:27

isiRHS 1

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Zitat:

Original von HAL 9000
Sollte es nicht eher $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{ -t} t^{x-1} (\ln t)^n ~ \dd t \end{eqnarray*}$ heißen???

25.03.2012, 15:31

isiRHS

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Zitat:

Original von HAL 9000
Sollte es nicht eher $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{ -t} t^{x-1} (\ln t)^n ~ \dd t \end{eqnarray*}$ heißen???

hmm gute Frage, in meiner Aufgabenstellung steht es so wie ich es in der Frage geschrieben habe, aber ich werd nochmal nachfragen.
Aber ist der Lösungsansatz richtig bzw wie sollte ich anders dran gehen?

PS: der obere Post is auch von mir, jetzt hab ich das mit dem Profil hier erst richtig verstanden sorry Augenzwinkern

26.03.2012, 15:19

isiRHS

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Zitat:

Original von HAL 9000
Sollte es nicht eher $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{ -t} t^{x-1} (\ln t)^n ~ \dd t \end{eqnarray*}$ heißen???

Du hast natürlich recht, es muss so heißen. Kann mir jetzt jemand weiterhelfen?

26.03.2012, 15:32

parkerstone

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Du willst $\begin{eqnarray*} \Gamma (x) \end{eqnarray*}$ nach x ableiten?
Dann ist das ln t doch nur eine Konstante. Und Induktion ist hier eine gute Idee.

26.03.2012, 16:06

isiRHS

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Zitat:

Original von parkerstone
Du willst $\begin{eqnarray*} \Gamma (x) \end{eqnarray*}$ nach x ableiten?
Dann ist das ln t doch nur eine Konstante. Und Induktion ist hier eine gute Idee.

nich ganz, ich hab die n-te Ableitung schon angegeben und soll jetzt zeigen, dass es sich auch tatsachlich um die n-te Ableitung der Gammafunktion handelt.
Gammafkt: \int_0^\infty \! t^{x-1} e^{-t} \, dt

und die n-te Ableitung: \int_0^\infty \! t^{x-1} e^{-t} (ln t)^n \, dt

26.03.2012, 16:09

parkerstone

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Um das zu zeigen musst du aber ableiten. Oder hast du irgendwelche Ideen wie man zeigen kann dass $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty e^{ -t} t^{x-1} (\ln t)^n ~ \dd t \end{eqnarray*}$ die n-te Ableitung der Gamma-funktion nach x ist ohne diese abzuleiten?

26.03.2012, 16:14

isiRHS

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ich dachte, ich könnte das Problem durch Induktion lösen, indem ich für n=1 einsetze bzw n=n +1 einsetzte.

Okay, du sagt also ich soll die Gammafkt ersteinmal ableiten oder wie?

26.03.2012, 16:22

parkerstone

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Ich sagte doch bereits dass Induktion eine gute Idee ist. Aber dafür musst du doch zunächst den Induktionsanfang zeigen, also n=1, und das ist die erste Ableitung.

Zitat:

n=n +1

Ich hoffe dir ist bewusst dass das falsch ist.

27.03.2012, 16:54

isiRHS

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Zitat:

Original von parkerstone
Ich sagte doch bereits dass Induktion eine gute Idee ist. Aber dafür musst du doch zunächst den Induktionsanfang zeigen, also n=1, und das ist die erste Ableitung.

Zitat:

n=n +1

Ich hoffe dir ist bewusst dass das falsch ist.

nein ist mir nicht bewusst, sonst hätte ich es ja nicht geschrieben....
okay ableiten, wie leite ich den ein Integral ab??

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