Erwartungstreue

21.01.2007, 13:07

Snorre84

Erwartungstreue

Moin !

Kann mir vielleicht jemand ne def. für Erwartungstreue geben ?
--> Also so dass es ein Mathekrüppel versteht ;-)

21.01.2007, 13:09

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Das steht und fällt damit, ob du weißt was der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist.

21.01.2007, 13:13

Snorre84

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? Wieso ?
Du meinst damit ich weiss ob mein Schätzwert Erwartungstreu ist ?
Oder wie

Was besagt das Kriterium der Erwartungstreue? --> Is die Frage auf meinem Mathe Blatt....

21.01.2007, 13:22

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Da geht's schon los: Was ist Schätzwert? Was ist Schätzgröße (manchmal auch Schätzer genannt)?

Da gibt es feine Unterschiede - wenn die Begriffe nicht klar sind, ist's Essig mit Erklärungen.

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Die Schätzgröße $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist eine Zufallsgröße, und zwar eine Funktion der mathematischen Stichprobe $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ - das sind n unabhängige gleichverteilte Zufallsgrößen, sozusagen aus der Grundgesamtheit gezogen:

$\begin{eqnarray*} T = g(X_1,\ldots,X_n) \end{eqnarray*}$ .

Der Schätzwert $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist dagegen eine konkrete Realisierung dieser Zufallsgröße, basierend auf der konkreten Stichprobe $\begin{eqnarray*} x_1,\ldots,x_n \end{eqnarray*}$ , das sind dann einfach Zahlen:

$\begin{eqnarray*} t = g(x_1,\ldots,x_n) \end{eqnarray*}$

Und will man nun irgendeinen Parameter der Grundgesamtheit erwartungstreu schätzen, z.B. den Mittelwert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ einer $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilten Grundgesamtheit, dann muss man eine Schätzgröße nehmen, die

$\begin{eqnarray*} E(T) = E(g(X_1,\ldots,X_n)) \stackrel{!}{=} \mu \end{eqnarray*}$

erfüllt.

21.01.2007, 13:35

Snorre84

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OH je oh je....

Wie kann ich denn die Frage dann beantorten ?

Das Kriterium der Erwartungstreue besagt : ...dass ein Mittelwert einer Stichprobe dem tatsächlich gesuchten Parameter entspricht ?

21.01.2007, 13:36

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Das gilt nur für den Mittelwertschätzer - es gibt auch andere Schätzgrößen, z.B. für die Varianz.

21.01.2007, 13:41

Snorre84

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Ja schon....aber da benutz ich doch auch den Mittelwert meiner Stichprobe(n).
Kannst mir nich nen Vorschlag machen wie man das allgemein genug ausdrückt ?

Kann man nich einfach sagen, dass wenn mein auf Stichproben basierender ermittelter Wert dem waren Wert des Paramters entspricht liegt Erwartungstreue vor ?

21.01.2007, 13:47

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Zitat:

Original von Snorre84
Kann man nich einfach sagen, dass wenn mein auf Stichproben basierender ermittelter Wert dem waren Wert des Paramters entspricht liegt Erwartungstreue vor ?

Salopp formuliert - entsprechend der Bedeutung des Erwartungswertes, und in Verbindung mit dem Gesetz der großen Zahlen - könnte man es so formulieren:

Genommen über eine Anzahl $\begin{eqnarray*} N\to\infty \end{eqnarray*}$ von Stichproben, pegelt sich der Mittelwert der Schätzwerte auf den Parameterwert ein.

Bitte nicht verwechseln mit dem Stichprobenumfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einer einzelnen Stichprobe - das ist etwas völlig anderes!

Nochmal: Der Begriff der Erwartungstreue bezieht sich auf dei Schätz-Zufallsgröße - NICHT auf den konkreten Schätzwert einer einzelnen Stichprobe. Dem kann man überhaupt nicht ansehen, ob er mit einer erwartungstreuen Schätzgröße ermittelt wurde. Das wäre genausoviel verlangt, als wenn du mit einem einzigen Wurf mit einem Würfel anhand dieser einen Augenzahl entscheiden solltest, ob der Würfel gezinkt ist oder nicht - das geht einfach nicht!

21.01.2007, 13:49

Snorre84

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Eine Schätzfunktion (n für eine unbekannte Maßzahl k heißt erwartungstreu
bezüglich k, falls
E[(n(X1, . . . ,Xn)] = k.

PS.: eigentlich sollte da nich "n" stehen, aber das Zeichen also diese 0 mit dem Strich durch find ich hier nich

21.01.2007, 13:53

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Zitat:

Original von Snorre84 (LaTeX-korrigiert)
Eine Schätzfunktion $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ für eine unbekannte Maßzahl k heißt erwartungstreu bezüglich $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , falls

$\begin{eqnarray*} E[\theta(X_1, \ldots ,X_n)] = k \end{eqnarray*}$

Genau, das ist es - hatte ich doch oben schon geschrieben mit Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und zugeordneter Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ .

21.01.2007, 14:01

Snorre84

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Das is genau der Punkt den ich nich verstehe.

$\begin{eqnarray*} E[\theta(X_1, \ldots ,X_n)] = k \end{eqnarray*}$

Was genau diese Zufallsvariablen sind ?!?

Weil das sind ja nicht mehr die konkreten Werte die ich in den Stichproben gemessen habe.

21.01.2007, 14:08

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Wie schon gesagt: Das sind die Grundlagen der Mathematischen Statistik, die müssen bekannt sein und sitzen! Ansonst ist man nur am hilflosen Rudern in einem unbekannten Meer. Also zieh dir mal das rein

http://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe

insbesondere Abschnitt

http://de.wikipedia.org/wiki/Stichprobe#...sche_Definition .

Dann können wir weiter reden.

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