Darstellende Matrix

25.03.2012, 17:17

Cheftheoretiker

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Darstellende Matrix

Hallo,

ich soll folgende darstellende Matrix berechnen,

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3 \rightarrow V_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c\end{pmatrix}\mapsto 2ax+3c \end{eqnarray*}$

mit den Basen $\begin{eqnarray*} B_1:=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\-2/3\end{pmatrix};\begin{pmatrix} 3 \\ 2/3 \\-1\end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0 \\ 1/3 \\-2/3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_2:=\{2x-1;4x^2+2\} \end{eqnarray*}$

bestimme $\begin{eqnarray*} T_{B_2}^{B_1}(f) \end{eqnarray*}$ .

Ich bin folgendermaßen vorgegangen, ich habe zuerst die Basis $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ in die Funktion geworfen und bin auf folgende Funktionswerte gekommen,

$\begin{eqnarray*} 1.4x-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.6x-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3.-2 \end{eqnarray*}$

Als nächstes dachte ich mir dazu muss ich folgendes bestimmen,

$\begin{eqnarray*} T_{B_2}^{B_1}(f)=(K_{B_2}(f(b_1)...K_{B_2}(f(b_3))) \end{eqnarray*}$

D.h. ich hätte nun drei LGS aufgestellst und aufgelöst. Mein erstes LGS würde dann wie folgt aussehen,

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 6 & 0 |2\\ -2 & -3 & -2|-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich meine das kann aber doch nicht stimmen, das LGS ist ja garnicht lösbar. verwirrt

verwirrt

Wo liegt denn mein Fehler?

25.03.2012, 17:33

Che Netzer

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RE: Darstellende Matrix
Ich vermute mal, der zweite Basisvektor aus $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ ist 4x+2.

Und wieso dann ein Gleichungssystem?
4x-2 = 2(2x-1)
6x-3 = 3(2x-1)
-2 = 1(2x-1) - 1/2 (4x+2)

Kann man auch einfach sehen.
Und wieso taucht in deinem Gleichungssystem der zweite Basisvektor gar nicht auf?

mfg,
Ché Netzer

25.03.2012, 17:48

Cheftheoretiker

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RE: Darstellende Matrix
Nein, der zweite Basisvektor ist $\begin{eqnarray*} 4x^2+2 \end{eqnarray*}$ , dass ist schon richtig. Finde ich ehrlich gesagt auch irgendwie komisch... verwirrt

verwirrt

Wie meinst du das, "man kann es einfach sehen"? Ich muss doch nun drei LGS aufstellen und die Spaltenvektoren der darstellenden Matrix berechnen. verwirrt

verwirrt

25.03.2012, 17:58

Che Netzer

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RE: Darstellende Matrix

Zitat:

Original von hangman
Nein, der zweite Basisvektor ist $\begin{eqnarray*} 4x^2+2 \end{eqnarray*}$ , dass ist schon richtig. Finde ich ehrlich gesagt auch irgendwie komisch... verwirrt

verwirrt

Dann stimmt da etwas hinten und vorne nicht...
Der Raum der Polynome vom Grad kleiner gleich 2 ist dreidimensional, da kann eine zweielementige Menge keine Basis sein!
Und mit dem Quadrat passt das alles auch nicht mehr...

Zitat:

Wie meinst du das, "man kann es einfach sehen"? Ich muss doch nun drei LGS aufstellen und die Spaltenvektoren der darstellenden Matrix berechnen. verwirrt

verwirrt

Man soll ja nun die Bilder als Linearkombinationen der Basiselemente darstellen. Die Koordinatenvektoren kommen dann in die Matrix, aber um die zu bestimmen, braucht man nicht immer ein Gleichungsystem zu lösen, wenn man die Lösung schon sieht.

Und wenn doch, dann würde ich das so schreiben:
4x-2 = a(2x-1) + b(4x+2)
und dann den Koeffizientenvergleich. Zumindest mit 4x statt 4x²...

25.03.2012, 18:00

Cheftheoretiker

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RE: Darstellende Matrix
Und was ist an meinem LGS nun falsch? verwirrt

verwirrt

25.03.2012, 18:06

Che Netzer

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RE: Darstellende Matrix
Nach welchem Verfahren hast du es denn aufgestellt? Die rechte Seite sollte das Bild eines Basisvektors sein, links stehen die Basisvektoren des Bildraumes.

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25.03.2012, 18:09

Cheftheoretiker

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RE: Darstellende Matrix
Die Funktionswerte die ich errechnete habe stehen auf der linken Seite und ein Basisvektor aus $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite.

25.03.2012, 18:17

Che Netzer

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RE: Darstellende Matrix
Und wozu?
Mit einem einzigen Basisvektor kannst du doch nicht alle Funktionswerte darstellen.
Du solltest stattdessen alle Basisvektoren und einen Bildvektor in ein Gleichungssystem verfrachten.

25.03.2012, 18:19

Cheftheoretiker

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RE: Darstellende Matrix

Zitat:

Original von Che Netzer
Und wozu?
Mit einem einzigen Basisvektor kannst du doch nicht alle Funktionswerte darstellen.
Du solltest stattdessen alle Basisvektoren und einen Bildvektor in ein Gleichungssystem verfrachten.

Ja, ich müsste dann ja auch 3 Gleichungssysteme aufstellen. verwirrt

verwirrt

Ich hätte dann den ersten Spaltenvektor der Matrix berechnet...

25.03.2012, 18:23

Che Netzer

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RE: Darstellende Matrix
Ja, wenn du den ersten Bildvektor genommen hättest.

Ist dann jetzt alles klar?

25.03.2012, 18:30

Cheftheoretiker

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RE: Darstellende Matrix
Irgendwie nicht. Big Laugh

Big Laugh

Wie müsste denn dann mein LGS aussehen?

25.03.2012, 18:40

Che Netzer

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RE: Darstellende Matrix
So:
4x-2 = a(2x-1) + b(4x+2)
Bzw. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&4\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

25.03.2012, 18:42

Cheftheoretiker

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RE: Darstellende Matrix
Jetzt habe ich es, tausend dank! smile

smile

25.03.2012, 19:05

Cheftheoretiker

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RE: Darstellende Matrix
Ich habe das nun mal ausgerechnet und ich komme auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für den ersten Spaltenvektor. Laut meinen Lösungen soll der erste Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lauten... verwirrt

verwirrt

25.03.2012, 19:43

Che Netzer

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RE: Darstellende Matrix
Die Aufgabe ist mit dem Quadrat doch sowieso recht suspekt.
Was steht denn dort noch so?

25.03.2012, 20:41

Cheftheoretiker

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RE: Darstellende Matrix
Naja, da die Aufgabe sowieso murks ist, hat es sich damit erledigt. Vielen Dank! smile

smile

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