Stetigkeit (Äquivalenz beweisen)

25.03.2012, 17:34

Gast11022013

Stetigkeit (Äquivalenz beweisen)

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} (X,\mathcal{O}_1), (Y,\mathcal{O}_2) \end{eqnarray*}$ topol. Räume, $\begin{eqnarray*} f\colon X\to Y \end{eqnarray*}$ eine Abb. und sei $\begin{eqnarray*} p\in X \end{eqnarray*}$ .

Zeige die Äquivalenz von (1) und (2):

(1) $\begin{eqnarray*} f\colon (X,\mathcal{O}_1)\to (Y,\mathcal{O}_2) \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} p\in X \end{eqnarray*}$ .

(2) Es gilt für jede Teilmenge $\begin{eqnarray*} T\subseteq X \end{eqnarray*}$ : Ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Berührpunkt von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f(p) \end{eqnarray*}$ Berührpunkt von $\begin{eqnarray*} f(T) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Moin! Hier meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} (1)\Rightarrow (2) \end{eqnarray*}$ :

Sei $\begin{eqnarray*} p\in X \end{eqnarray*}$ Berührpunkt von $\begin{eqnarray*} T\subseteq X \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} T\cap U\neq\emptyset~\forall~U\in\mathcal{U}(p) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(T)\cap f(U)\neq\emptyset~\forall~U\in\mathcal{U}(p) \end{eqnarray*}$

Für jedes $\begin{eqnarray*} V\in\mathcal{U}(f(p)) \end{eqnarray*}$ gibt's wegen der Stetigkeit von f ein $\begin{eqnarray*} U\in\mathcal{U}(p): f(U)\subseteq V \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(T)\cap V\neq\emptyset \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} V\in\mathcal{U}(f(p)) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} f(p) \end{eqnarray*}$ Berührpunkt von $\begin{eqnarray*} f(T) \end{eqnarray*}$ .

Wie kann man $\begin{eqnarray*} (1)\Leftarrow (2) \end{eqnarray*}$ zeigen? Mir fehlt gerade ein Ansatz. Vielleicht per Widerspruch?

Angenommen, f ist nicht stetig.
Dann gibt's mindestens ein $\begin{eqnarray*} V\in\mathcal{U}(f(p)) \end{eqnarray*}$ , für das $\begin{eqnarray*} f^{-1}(V)\notin\mathcal{U}(p) \end{eqnarray*}$ .

Da stecke ich jetzt leider fest.

25.03.2012, 19:01

Gast11022013

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RE: Stetigkeit (Äquivalenz beweisen)
Ich bin gerade am überlegen, ob man für (2) --> (1) Folgendes nutzen könnte:

Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f\colon X\to Y \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} p\in X \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn das Bild eines jeden gegen $\begin{eqnarray*} p\in X \end{eqnarray*}$ konvergierenden Filters gegen $\begin{eqnarray*} f(p) \end{eqnarray*}$ konvergiert:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\to p\Rightarrow f(\mathcal{F})\to f(p) \end{eqnarray*}$

------------------------------

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ ein bel. Filter, der gegen $\begin{eqnarray*} p\in X \end{eqnarray*}$ konvergiert, d.h.

$\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(p)\subseteq \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

Betrachte die Filterbasis $\begin{eqnarray*} \left\{f(F)~|~F\in\mathcal{F}\right\} \end{eqnarray*}$ und den dadurch erzeugten Filter

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{T\subseteq X~|~\exists~f(F), F\in\mathcal{F}: f(F)\subseteq T\right\} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist: Gilt jetzt $\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(f(p))\subseteq \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ ?

verwirrt

Vielleicht bringt einem dieser Ansatz aber auch gar nichts hier...

26.03.2012, 12:58

Gast11022013

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RE: Stetigkeit (Äquivalenz beweisen)

Zitat:

Original von Dennis2010

Vielleicht bringt einem dieser Ansatz aber auch gar nichts hier...

So ist es. Big Laugh

Ich kehre zurück zu meiner ersten "Idee".

Nimm' an, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht stetig in $\begin{eqnarray*} p\in X \end{eqnarray*}$ ist.
Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} U\in\mathcal{U}(p) \end{eqnarray*}$ , daß $\begin{eqnarray*} f(U)\nsubseteq V \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} V\in\mathcal{U}(f(p)) \end{eqnarray*}$ .

Es gibt dann in jedem $\begin{eqnarray*} U\in\mathcal{U}(p) \end{eqnarray*}$ ein Element $\begin{eqnarray*} x_U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_U)\notin V \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} M:=\left\{x_U~|~U\in\mathcal{U}(p)\right\} \end{eqnarray*}$ gilt dann, daß p Berührpunkt von M ist, aber f(p) nicht Berührpunkt von f(M).

Widerspruch (Behauptet war ja, daß dies FÜR ALLE M gilt)

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