Was ist ein Fluss (flux)?

25.03.2012, 20:00	Sonnenstrahl	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist ein Fluss (flux)? Hallo, ich kämpfe seit einiger Zeit mit einem Konzept, das ich in der Biomathe kennen gelernt habe. Dort wird eine auf einem mit x beschriebenen Raum verteilte Population auf ihre Entwicklung unter der Zeit hin untersucht. $\begin{eqnarray} n(x,t) \end{eqnarray}$ bezeichnet die Anzahl der Individuen (oder die Populationsdichte) am Ort $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ (z.B. aus R, R² oder R³) zur Zeit $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} f(n(x,t)) \end{eqnarray}$ beschreibt Geburten/Tode, etwa mit $\begin{eqnarray} f=r \cdot n(x,t) \end{eqnarray}$ (exponentielles Wachstum/Zerfall) oder $\begin{eqnarray} f=r \cdot n(x,t)\cdot \left( 1-n(x,t) \right) \end{eqnarray}$ (logistisches Wachstum), oder was einem sonst so lieb ist. $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ ist der ominöse Fluss (flux). Die Entwicklung der Population unter der Zeit und je nach Ort wird nun beschrieben durch $\begin{eqnarray} \frac{\partial n(x,t)}{\partial t}= f \left( n(x,t) \right) - \nabla J \end{eqnarray}$ Als Beispiele für den Fluss werden $\begin{eqnarray} J=v(x) \cdot n(x,t) \end{eqnarray}$ (Advektion, $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ist ein (zeitkonstantes) Geschwindigkeitsfeld) und $\begin{eqnarray} J=-\nabla n \end{eqnarray}$ (Diffusion) genannt. Wikipedia sagt mir, dass der Fluss die Einheit [Teilchen pro Fläche und Zeit] hat, d.h. angibt wie viele Teilchen eine gewisse Fläche in einer gewissen Zeit passieren. Das leuchtet mir auch ein. Mir leuchtet aber zum Beispiel nicht ein, warum $\begin{eqnarray} J=v(x) \cdot n \end{eqnarray}$ auch diese Einheit hat. Da sind es doch [Teilchen mal Geschwindigkeit], also [Teilchen mal Weg durch Zeit]. Noch weniger ist mir das für $\begin{eqnarray} J=-\nabla n \end{eqnarray}$ klar. Hier ist mir überhaupt nicht klar, um welche Einheit es sich handelt. Was hat der negative Gradient von n mit [Teilchen pro Fläche und Zeit] zu tun? * Unabhängig davon stellt sich mir die Frage warum die allgemeine Gleichung oben $\begin{eqnarray} - \nabla J \end{eqnarray}$ enthält. Was ist denn der Gradient von dem Fluss? Welche Einheit hat der? Danke im Voraus für jede Hilfe. Liebe Grüße
26.03.2012, 14:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Differenzialgleichung ist eine Bilanzgleichung, welche besagt, dass die zeitliche Änderung der Bevölkerungsdichte n die Summe aus Geburtenrate f und Zuwanderung z ist. Das entspricht der Anschauung, also $\begin{eqnarray} \underbrace{\frac{\partial n}{\partial t}}_{\begin{matrix} \text{Zunahme der} \\ \text{Individuen pro} \\ \text{Zeit und Volumen} \end{matrix}} = \underbrace{f[n(x,t)]}_{\begin{matrix} \text{Geburt von} \\ \text{Individuen pro} \\ \text{Zeit und Volumen} \end{matrix}}+\underbrace{z}_{\begin{matrix} \text{Zuwanderung von} \\ \text{Individuen pro} \\ \text{Zeit und Volumen} \end{matrix}} \end{eqnarray}$ Die Zuwanderung berechnet man wie folgt $\begin{eqnarray} z=-\nabla \cdot \vec J=\underbrace{-div (\vec J)}_{\begin{matrix} \text{Bessere} \\ \text{Schreibweise} \end{matrix}} \end{eqnarray}$ BEZEICHNUNGEN: n=Bevölkerungsdichte in $\begin{eqnarray} \tfrac{\text{Anzahl}}{m^3} \end{eqnarray}$ , f=Geburtenrate in $\begin{eqnarray} \tfrac{\text{Anzahl}}{m^3\cdot s} \end{eqnarray}$ z=Zuwanderung in $\begin{eqnarray} \tfrac{\text{Anzahl}}{m^3\cdot s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ =Geschwindigkeit in $\begin{eqnarray} \tfrac{m}{s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec J \end{eqnarray}$ =Stromdichte in $\begin{eqnarray} \tfrac{\text{Anzahl}}{m^2\cdot s} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -div(\vec J) \end{eqnarray}$ =lokale Zunahme der Anzahl infolge des Zustroms in $\begin{eqnarray} \tfrac{\text{Anzahl}}{m^3\cdot s} \end{eqnarray}$ Die Stromdichte $\begin{eqnarray} \vec J=n\cdot \vec v \end{eqnarray}$ ist das Produkt als Bevölkerungsdichte n und Geschwindigkeit, ähnlich wie die elektrische Stromdichte das Produkt aus Ladungsdichte und Fließgeschwindigkeit ist. Die Stromdichte ist gemäß $\begin{eqnarray} \vec J=-\alpha \cdot \nabla n \end{eqnarray}$ proportional zum negativen Gradient der Dichte. (Den Proportionalistätsfaktor $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ mit der Dimension $\begin{eqnarray} \tfrac{m^2}{s} \end{eqnarray}$ hast du vergessen.) Dies besagt folgendes: Der Gradient zeigt bekanntlich in die Richtung des stärksten Anstiges. Die Individuen haben also das Bestreben, sich dorthin zu bewegen, wo die Bevölkerungsdichte am geringsten ist ("Stadtflucht"). Das ist ähnlich wie bei der Wärme, die immer von "warm nach kalt" strömt. Der Proportionalitätsfaktor $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist ein Maß für die "Mobilität" der Individuen. Dein Problem liegt darin, dass du die Begriffe "Stromdichte" und "Strom" (bzw. "Fluss", was das gleiche ist) verwechselst. Unter dem "Strom" bzw. "Fluss" mit der Dimension $\begin{eqnarray} \tfrac{\text{Anzahl}}{s} \end{eqnarray}$ versteht man die absolute Anzahl der Individuen, die pro Zeit eingewandert sind, also nicht bezogen auf die Fläche. Ich habe die Begriffe "Stromdichte" und "Fluss" hier so gebraucht, wie es in der Elektrotechnik und Strömungsmechanik üblich ist. Vielleicht verwendet man diese Begriffe in der Biomathematik aber anders.

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