Maßtheorie: Urbild eine sigma Algebra

25.03.2012, 23:12

martha.1981

Maßtheorie: Urbild eine sigma Algebra

So, die Basics habe ich mir in dem Thread geholt.

Zu zeigen ist

$\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ sigma-Algebra auf Y.

dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathcal B) \end{eqnarray*}$ eine sigma-algebra.

Erstmal scheint mir die Schreibweise so keinen Sinn zu ergeben. $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ ist ja keine Teilmenge von Y sondern von $\begin{eqnarray*} \mathcal P(Y) \end{eqnarray*}$ .

Also gehe ich davon aus: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathcal B):=\{f^{-1}(B)| B\in \mathcal B\} \end{eqnarray*}$

1. Es gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\emptyset)=\emptyset \end{eqnarray*}$ Da $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ in sigma-algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\emptyset)=\emptyset \in f^{-1}(\mathcal B) \end{eqnarray*}$

2. Sei $\begin{eqnarray*} A\in f^{-1}(\mathcal B) \end{eqnarray*}$ . Dann ex. $\begin{eqnarray*} B\in\mathcal B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B)=A \end{eqnarray*}$

Mit der sigmal-algebra ist $\begin{eqnarray*} B^c \in\mathcal B \end{eqnarray*}$

Es gilt für die Urbildmenge $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B^c)=f^{-1}(B)^c\in f^{-1}(\mathcal B) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} A^c=f^{-1}(B)^c\in f^{-1}(\mathcal B) \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

gute nacht!

m

26.03.2012, 13:13

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RE: Maßtheorie: Urbild eine sigma Algebra

Zitat:

Original von martha.1981
Erstmal scheint mir die Schreibweise so keinen Sinn zu ergeben. $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ ist ja keine Teilmenge von Y sondern von $\begin{eqnarray*} \mathcal P(Y) \end{eqnarray*}$ .

Also gehe ich davon aus: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathcal B):=\{f^{-1}(B)| B\in \mathcal B\} \end{eqnarray*}$

Das ist exakt die Definition des Ausdrucks, der für dich keinen Sinn ergibt. Also schon mal gut gedacht Augenzwinkern

.

Und jetzt musst du nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra ist. Dazu musst du nachweisen, dass sie alle Eigenschaften der Definition erfüllt.
Aber da fehlt's noch.

1. $\begin{eqnarray*} X\in f^{-1}(\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ . Du zeigst, dass die leere Menge drin ist, wenn du also die Abgeschlossenheit unter Komplementen in X hast, sollte das passen. Also ok.

2. Abgeschlossenheit unter Komplementbildung. Vielleicht solltest du hier noch mal erklären, warum $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B^c)=f^{-1}(B)^c \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist der wesentliche Schritt. Ansonsten passt's wohl.

3. Es fehlt aber noch die Abgeschlossenheit unter Vereinigungen.

Gruß
MI

26.03.2012, 18:41

martha.1981

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Okay, dann komme ich klar! Danke!

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