Konvergenz komplexer Reihe

26.03.2012, 02:35

david_1986

Konvergenz komplexer Reihe

Guten Morgen zusammen!

ich habe hier folgende Reihe vorliegen und soll diese auf Konvergenz prüfen...

mich würde mal interessieren ob das so richtig ist....

$\begin{eqnarray*} \ sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1+i}{2} \right)^{k} \end{eqnarray*}$

wir formen das etwas um:

$\begin{eqnarray*} \ sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1}{2} + \frac{i1}{2} \right)^{k} \end{eqnarray*}$

Nun betrachte ich |z|

$\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt{\left( \frac{1}{2}\right)^{2} + \left( \frac{1}{2}\right)^{2}} =\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{eqnarray*}$

und da |z| (=q) nun offensichtlich <1, haben wir hier eine geometrische Reihe, für die dann der Grenzwert ermittelt werden kann

$\begin{eqnarray*} \ sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1}{2} + \frac{i1}{2} \right)^{k} = \left( \frac{1}{1-q}\right) = \left( \frac{1}{1-\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\right) = 3,4142.. \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?
Für eine baldige Antwort wäre ich sehr dankbar :-)

Gruß
David

26.03.2012, 08:36

klarsoweit

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RE: Konvergenz komplexer Reihe

Zitat:

Original von david_1986
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1}{2} + \frac{i1}{2} \right)^{k} = \left( \frac{1}{1-q}\right) = \left( \frac{1}{1-\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\right) = 3,4142.. \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Nein. Du sollst nicht die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} | \frac{1}{2} + \frac{i}{2} |^k \end{eqnarray*}$ berechnen, sondern $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \right)^k \end{eqnarray*}$ . Du mußt also schon das richtige q nehmen. smile

26.03.2012, 10:26

david_1986

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okay, okay ... das war klar soweit ;-)

okay ... dann so? kann ich den letzten Term nicht weiter vereinfachen? bleibt er so?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{1}{2} + \frac{i1}{2} \right)^{k} = \left( \frac{1}{1-q}\right) = \left( \frac{1}{1-\left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)}\right) = \left( \frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{i}{2}}\right) = \left( \frac{2}{1-i}\right) \end{eqnarray*}$

26.03.2012, 10:37

klarsoweit

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Nun ja, wenn, dann so: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{i1}{2} \right)^{k} = \frac{1}{1-\left(\frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{i}{2}} = \frac{2}{1-i} \end{eqnarray*}$

Und ja, den letzten Term kannst du noch umformen, daß der Nenner reell wird.

26.03.2012, 12:17

david_1986

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wird dann wohl so sein:

$\begin{eqnarray*} = \frac{2}{1-i} = \frac{2*(1+i)}{(1-i)*(1+i)} = 1+ \frac{i}{2} \end{eqnarray*}$

vielen Dank!

26.03.2012, 12:31

klarsoweit

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Das ist leider falsch. geschockt