bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen

21.01.2007, 13:56

Mazze

bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen

Da ich gerade ausversehen den Browser geschlossen habe und nicht alles nochmal aufschreiben will, hier der Link zu dem Aufgabenblatt es geht um Aufgabe 1. So ich habe bei c)

$\begin{eqnarray*} P(F_M) = 5et + e(1-t) \end{eqnarray*}$

und wegen

$\begin{eqnarray*} P(G_M = w|F_M = w,G_T = w) = P(G_M = f|F_M = w,G_T = f) = \frac{n-1}{2n} \end{eqnarray*}$

bei d) habe ich

$\begin{eqnarray*} P(G_M = w|F_M = w,G_T = f) = P(G_M = f|F_M = w,G_T = w) = \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

insgesammt

$\begin{eqnarray*} P(G_M = w|G_T = f) = \frac{5e \cdot t + e(1-t)}{2n} \end{eqnarray*}$

Das eigentliche Problem ist Teil e). Ich soll die bedingte Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(A|F_M,G_M) \end{eqnarray*}$ angeben. Hier wenigstens nochmal die Ereignisübersicht, folgende ZV:

A Alarmsignal ertönt
$\begin{eqnarray*} F_A \end{eqnarray*}$ Signal kaputt
$\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ angezeigte Temperatur
$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ tatsächliche Temperatur
$\begin{eqnarray*} G_M \end{eqnarray*}$ gemessene Temperatur ist größer als Schwelle g
$\begin{eqnarray*} G_T \end{eqnarray*}$ echte Temperatur ist größer als Schwelle g
$\begin{eqnarray*} F_M \end{eqnarray*}$ ein Messfehler trat auf

Danke schonmal !

21.01.2007, 14:14

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RE: bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen
Du kennst mich ja, ich liebe erstmal Klarstellungen:

Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} F_A \end{eqnarray*}$ Signal kaputt
$\begin{eqnarray*} G_M \end{eqnarray*}$ gemessene Temperatur ist größer als Schwelle g
$\begin{eqnarray*} G_T \end{eqnarray*}$ echte Temperatur ist größer als Schwelle g
$\begin{eqnarray*} F_M \end{eqnarray*}$ ein Messfehler trat auf

Das sind also eigentlich Ereignisse, die man natürlich auch als Zufallsgrößen mit Ergebnisraum (Wahr,Falsch) interpretieren kann. Allerdings sollte man sich irgendwann bei den Ausführungen einigen, ob man nun

$\begin{eqnarray*} P(F_M) \end{eqnarray*}$ (Ereignissymbolik)

oder

$\begin{eqnarray*} P(F_M=w) \end{eqnarray*}$ (Zufallsgrößensymbolik)

verwendet. Ich finde diese Mischungen wie oben nicht besonders dem Verständnis förderlich - um es mal höflich auszudrücken. Augenzwinkern

21.01.2007, 14:29

Mazze

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Stimmt schon wir benutzen in dem Fall immer Folgendes ( bei binären ZV)

$\begin{eqnarray*} P(F_M) = <5et + e(1-t),1 - 5et -e(1-t)) \end{eqnarray*}$

Also das bedeutet dann

$\begin{eqnarray*} P(F_M = w) = 5et + e(1-t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(F_M = f) = 1 - 5et . e(1-t) \end{eqnarray*}$

(so hätte ich das dann auch schrieben sollen)
Das Problem ist das dass dann nicht mehr konsistent mit der Frage nach

$\begin{eqnarray*} P(A|F_A,G_M) \end{eqnarray*}$

ist. Ich denke es wäre dann wohl besser die Ereignissymbolik zu benutzen.

21.01.2007, 14:45

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Zitat:

Original von Mazze
Das Problem ist das dass dann nicht mehr konsistent mit der Frage nach

$\begin{eqnarray*} P(A|F_A,G_M) \end{eqnarray*}$

ist.

Nein, das geht schon - es hat dann nur eine andere Bedeutung: Sind $\begin{eqnarray*} F_A,G_M \end{eqnarray*}$ Ereignisse, dann ist das einfach eine Wahrscheinlichkeit, also eine Zahl.

Sind $\begin{eqnarray*} F_A,G_M \end{eqnarray*}$ dagegen Zufallsgrößen, dann ist $\begin{eqnarray*} P(A|F_A,G_M) \end{eqnarray*}$ auch eine Zufallsgröße mit den vier Werten:

$\begin{eqnarray*} P(A|F_A,G_M)(\omega) = \begin{cases} P(A|F_A=f,G_M=f) & \;\mbox{für}\; \omega\;\mbox{mit}\; F_A(\omega)=f,\; G_M(\omega)=f\\ P(A|F_A=f,G_M=w) & \;\mbox{für}\; \omega\;\mbox{mit}\; F_A(\omega)=f,\; G_M(\omega)=w\\ P(A|F_A=w,G_M=f) & \;\mbox{für}\; \omega\;\mbox{mit}\; F_A(\omega)=w,\; G_M(\omega)=f\\ P(A|F_A=w,G_M=w) & \;\mbox{für}\; \omega\;\mbox{mit}\; F_A(\omega)=w,\; G_M(\omega)=w\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Genau deswegen ist es ja so wichtig, was ihr da nun gerade betrachtet!

21.01.2007, 14:53

Mazze

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Da ja im Zuge der Aufgabenteile c) - e) die Tabelleneinträge für das Netz erstellt werden denke ich es geht um Zweiteres. Und es ist im Prinzip auch sicher, wir haben anfang der VL folgende konventionen Eingeführt

Großbuchstabe Zufallsvariable
Kleinbuchstabe Wert einer Zufallsvariable also

$\begin{eqnarray*} P(x) \text{~bedeutet~} P(X = x) \end{eqnarray*}$ und groß X bedeutet dann das man sämtliche Möglichkeiten für X durchgeht (sofern das geht).

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