Ratenrechnung

26.03.2012, 08:17

Frage123

Ratenrechnung

Folgendes Beispiel:

Lisas Opa bezahlt für seine Enkelin ab 2011 immer Anfang Jänner 100€ auf ein Spatbuch ein. Wie viel hat Lisa Ende 2020 auf ihrem Sparbuch, wenn mit 3% p.a verzinst wird.

mein Vorschlag:

Kn= R*q* q^n-1/q-1

Kn= 100*1,03*1,03^10-1/1,03-1

Kn = 100*1,03* 11,47

Kn= 1180,79

ich weiß aber nicht, ob das passt...

26.03.2012, 08:52

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ratenrechnung
Zunächst einmal ist es richtig, die geometrische Reihe zu verwenden.

Du hast vollkommen richtig gerechnet:

Wir zahlen Anfang 2011 100 Euro ein und erhalten Ende 2011 die Zinsen, wir gehen einmal davon aus, dass die 100 Euro am 01.01. eingezahlt werden und die Zinsen am 31.12 ausgeschüttet werden, das bedeutet, das wir am Ende des Jahres bereits die Zinsen für das ganze Jahr erhalten.

Wir erhalten also im 1. Jahr bereits volle Zinsen, das ergibt:

$\begin{eqnarray*} 100 \cdot (1,03+1,03^2+1,03^3+....+1.03^{10})=100 \cdot 1,03 \cdot \sum_{k=0}^{9} 1,03^k=100 \cdot 1,03 \cdot \frac{1,03^{10}-1}{1,03-1} \end{eqnarray*}$ , also richtig gerechnet.

Aber bitte in Zukunft Klammern richtig setzen oder Latex verwenden, bei dir steht an dieser Stelle

Zitat:

Kn= 100*1,03*1,03^10-1/1,03-1

genau genommen folgendes:

$\begin{eqnarray*} K_n=100 \cdot 1,03 \cdot 1,03^{10} - \frac{1}{1,03}-1 \end{eqnarray*}$

Und das kann ja nicht stimmen.....

26.03.2012, 09:08

Frage123

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!!

Meine Freundin rechnete so, ist aber meiner Meinung nach falsch.

Sie setzte für q= 1+i(12) = 12Wurzel aus 1,03
also q= 1,002466

ich verstehe nicht, wie man auf das kommt?!

26.03.2012, 09:52

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie rechnete sie weiter? verwirrt

Erst mal hat sie nur den Jahreszins auf den monatlichen Zinssatz heruntergerechnet.

Wenn man dann die Summe über die Monate bildet ist das zweifelsfrei richtig. Das ist günstig, wenn man davon ausgeht, dass man zum Beispiel für Januar keine Zinsen bekommt.

Wir zahlen im Januar 100 Euro ein und bekommen für diese 100 Euro nun 11 Monate lang Zinsen, das ergibt am Jahresende:

$\begin{eqnarray*} K_1=100 \cdot \sqrt[12]{1,03}^{11} \end{eqnarray*}$ .

Im darauffolgenden Jahr bekommen wir $\begin{eqnarray*} K_2=K_1 \cdot \sqrt[12]{1,03}^{12}+100 \cdot \sqrt[12]{1,03}^{11} \end{eqnarray*}$ , also Zinsen für das ganze Jahr für K_1 und für 11 Monate für die neu eingezahlten 100 Euro.

So können wir fortfahren und erhalten schließlich nachdem wir $\begin{eqnarray*} \sqrt[12]{1,03}^{11} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert haben folgendes:

$\begin{eqnarray*} 100 \cdot \sqrt[12]{1,03}^{11} \cdot (1+ \sqrt[12]{1,03}^{12}+ ( \sqrt[12]{1,03}^{12} )^2+....+ ( \sqrt[12]{1,03}^{12})^9)=100 \cdot \sqrt[12]{1,03}^{11} \cdot (1+1,03+1,03^2+...+1,03^9) \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt, unter der Annahme, dass für die jeweils 100 Euro im Januar keine Zinsen mehr gezahlt werden.

Edit: Nachtrag: Ich würde als Lehrer beides gelten lassen, wenn man denn die Vorraussetzung dazu schreibt, vielleciht würde ich auf den Lösungsweg deiner Freundin, wenn er denn richtig ist, also so, wie ich ihn dargestellt habe, einen "Fleißpunkt" extra geben, weil sie sich etwas mehr Gedanken darüber gemacht hat, als einfach nur einzusetzen und die Jahre zu zählen, richtig ist aber, je nach Vorraussetzung, beides.

26.03.2012, 14:05

Frage123

Auf diesen Beitrag antworten »

Sie hat so gerechnet.

q= 1,002466

Kn= R*q * ((q^10-)/0,002466)

Kn= 1013,66

26.03.2012, 14:09

Frage123

Auf diesen Beitrag antworten »

so, habe -1 vergessen

Kn= R*q * ((q^10-1)/0,002466)

26.03.2012, 14:34

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, aber warum denn wohl das? verwirrt

Wenn ich das richtig verstehe hat sie $\begin{eqnarray*} q= \sqrt[12]{1,03} \end{eqnarray*}$ bestimmt (das ist der monatliche Zins).

Dann hat sie aber dieses q genommen (also den montatlichen Zins) und als Jahreszins behandelt, also gerechnet:

$\begin{eqnarray*} 100 \cdot q \cdot \frac{q^{10}-1}{q-1} \end{eqnarray*}$ , verstehe ich das richtig?

Wie gesagt, wenn für die im Januar eingezahlten 100 Euro nur noch 11 Monate Zinsen gezahlt werden ist der Ansatz wie oben geschrieben:

$\begin{eqnarray*} 100 \cdot \sqrt[12]{1,03}^{11} \cdot \frac{1,03^{10}-1}{1,03-1} \end{eqnarray*}$ .

In der Summe ändert sich nichts, lediglich der Multiplikator wird statt $\begin{eqnarray*} 1,03 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \sqrt[12]{1,03}^{11} \end{eqnarray*}$ , was anschaulich dadurch zustande kommt, dass jede 100 Euro mit zwölf Monaten verzinst werden (also von Januar bis Januar jeweils), aber der Betrag, der Janaur 2020 vorhanden ist (das ist der Betrag $\begin{eqnarray*} 100 \cdot \frac{1,03^{10}-1}{1,03-1} \end{eqnarray*}$ wenn wir von Januar 2011 bis Januar 2020 rechnen und die letzten 100 Euro bereits eingezahlt wurden) wird nur noch 11 Monate verzinst.

So, wie deine Freundin gerechnet hat ist das definitiv falsch.

Aber, ein schlauer Ansatz steckt dahinter, nämlich der, dass der Monat Januar nicht mit verzinst wird.

26.03.2012, 15:05

sgoilear

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lgrizu
Aber, ein schlauer Ansatz steckt dahinter, nämlich der, dass der Monat Januar nicht mit verzinst wird.

Zitat:

Original von Frage123
Lisas Opa bezahlt für seine Enkelin ab 2011 immer Anfang Jänner 100€ auf ein Spatbuch ein..

entschuldigt bitte,
aber ich frage mich gerade, warum der Monat Januar nicht verzinst werden soll?
Einzahlung ist Anfang Januar = 01.01. (zumindest in der Theorie Big Laugh

)

Grüsse

26.03.2012, 16:36

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

@ sgoilear:

Darauf bin ich bereits in meiner ersten Antwort eingegangen.

Das Gespräch geht nun darum, wie der Ansatz von Frage123's Freundin zu verarbeiten ist, und das habe ich versucht zu erklären, sprich, was sie eigentlich genau gemacht hat.

Es macht mir nicht den Anschein, als hätte Frage123 wirklich begriffen, was er eigentlich macht, es sah mir mehr so aus, als würde es einfaches einsetzen in Formeln sein, und ich hatte die Absicht, ein wenig zu erläutern, wie diese Formel genau zustande kommt.

Aber du hast recht, das "Anfang" ist mir zwischenzeitig auch durch die Lappen gerutscht.

26.03.2012, 21:31

Frage123

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!!

26.03.2012, 21:32

Frage123

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!!

Ich glaub ich habs verstanden Mit Zunge