Ableitung ins Integral

26.03.2012, 13:58

chris95

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Ableitung ins Integral

Meine Frage:
Hi Leute,

ich ueberdenke gerade noch das Variationsprinzip beim Lagrangeformalsmus.

Dabei hat man die Wirkung gegeben. Diese soll nun variiert und die Variation null werden.

Also:

$\begin{eqnarray*} \delta S =0 \end{eqnarray*}$

Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} S=\int_{t_1}^{t_2} L dt \end{eqnarray*}$

wobei L die Lagrangefunktion von x und d/dt x abhaengt.

Da ich das minimieren muss, mach ich ja:

$\begin{eqnarray*} \delta S = 0 \;\; \rightarrow \;\;\; 0=\delta \int_{t_1}^{t_2} L dt = \int_{t_1}^{t_2} \delta L dt \end{eqnarray*}$

Nun ist die Frage warum ich das "Delta" in das Integral reinziehen darf.

Viele Gruesse,
chris

Meine Ideen:
Ich habe mir ueberlegt, dass das an irgendeiner Regel von Vertauschen von Limites liegt. Die Frage ist nur, wie ich das begruenden kann.

26.03.2012, 17:12

Christian_P

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Das Integral kann als Summe definiert werden (das ist hier sogar der Fall) und für endliche Summen gibt es die leicht zu zeigende Regel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^n ca_k=c \sum_{k=m}^n a_k \end{eqnarray*}$

Wenn man die Summen einmal ausschreibt, sieht man warum dies so ist.

So würde ich es begründen.

Viele Grüße

26.03.2012, 21:04

Rmn

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Das ist nicht so trivial, da muss du dich genauer mit der Theorie der Variationsrechnung auseinadersetzen.

26.03.2012, 21:42

chris95

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Zitat:

Original von Christian_P
endliche Summen

Ein Integral ist doch keine endiche Summe, oder?

Zitat:

Original von Rmn

Das ist nicht so trivial, da muss du dich genauer mit der Theorie der Variationsrechnung auseinadersetzen.

Kannst du mir vielleicht sagen, wo ich das evtl. gut erklaehrbar nachlesen kann?

Danke fuer die Antworten, Jungs.

Freundliche Gruesse,
chris

26.03.2012, 21:53

Rmn

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Leider nicht, frag am besten deinen Hochschullehrer danach.

26.03.2012, 23:27

chris95

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Zitat:

Original von Rmn
Leider nicht, frag am besten deinen Hochschullehrer danach.

Okay, mal gucken. Aber danke fuer die Info. Wink

Wink

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27.03.2012, 10:52

Huggy

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Um die Sache zu begründen, muss man das Variationssymbol erst mal mit mathematischem Inhalt füllen. Wenn man das macht, ist das Hineinziehen der Variation in das Integral einfach das Hineinziehen der Ableitung des Integrals nach einem Parameter des Integranden in das Integral. Es geht also um die Vertauschung von Differentiation und Integration und die ist nach dem Satz von Leibniz unter weitgehenden Voraussetzungen erlaubt.

27.03.2012, 12:22

chris95

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Zitat:

Original von Huggy
ist das Hineinziehen der Variation in das Integral einfach das Hineinziehen der Ableitung des Integrals nach einem Parameter des Integranden in das Integral..

Genau, das ist ja auch meine Ueberschrift, das war mir shcon klar.

Also ist der Satz von Leibniz der Grund. Was sagt der denn aus? Ich habe nix gescheites im Internet gefunden.

Ich raetsel halt noch davor, bzw. warum man das machen darf?

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y'}\int L dx = \int \frac{\partial L}{\partial y'} dx \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist, dass ja uber dx integriert wird und ich trotzdem dy/dx=y' ins Integral ziehen kann.

Freundliche Gruesse,
chris

27.03.2012, 14:06

Huggy

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Zitat:

Original von chris95
Also ist der Satz von Leibniz der Grund. Was sagt der denn aus? Ich habe nix gescheites im Internet gefunden.

Siehe den Abschnitt Leibnizregel für Parameterintegrale unter

http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral

Du kannst dich für deine Frage auf den Fall konstanter Integrationsgrenzen beschränken.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y'}\int L dx = \int \frac{\partial L}{\partial y'} dx \end{eqnarray*}$

Was soll das? Das ist nicht die Bedeutung der Variation.

Betrachten wir mal das Standardbeispiel: Der Weg $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ eines Massepunktes zwischen den Zeitpunkten $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ soll aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung bestimmt werden. Dabei seien $\begin{eqnarray*} y(t_1)=\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(t_2)=\beta \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Es sei $\begin{eqnarray*} y_0(t) \end{eqnarray*}$ der Lösungsweg, der das Wirkungsintegral minimiert. Es gilt also $\begin{eqnarray*} y_0(t_1)=\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0(t_2)=\beta \end{eqnarray*}$ . Dann führen wir Variationen dieses Weges mittels

$\begin{eqnarray*} y(t)=y_0(t)+c \delta(t) \end{eqnarray*}$

ein mit $\begin{eqnarray*} \delta(t_1)=\delta(t_2)=0 \end{eqnarray*}$ . Ansonsten ist $\begin{eqnarray*} \delta(t) \end{eqnarray*}$ eine beliebige Funktion, die nur die Bedingungen für die Leibnizregel erfüllen muss. Die Konstruktion stellt sicher, dass $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ die gegebenen Randbedingungen erfüllt.

c ist ein reeller Parameter. Die Wirkung $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist jetzt von c abhängig und ihr Minimum ist bei c = 0. Notwendige Vorraussetzung für das Minimum ist

$\begin{eqnarray*} \frac {dS}{dc}=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt die Leibnizregel ins Spiel:

$\begin{eqnarray*} \frac {dS}{dc}=\frac{d}{dc}\int_{t_1}^{t_2} L(y, \dot y,t)dt=\int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dc}L(y, \dot y,t)dt=\int_{t_1}^{t_2}\left (\frac{\partial L}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial c} +\frac{\partial L}{\partial \dot y} \frac{\partial \dot y}{\partial c} \right ) dt= \int_{t_1}^{t_2}\left (\frac{\partial L}{\partial y} \delta (t) +\frac{\partial L}{\partial \dot y} \dot \delta (t) \right ) dt \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt wird der 2. Summand im Integral partiell integriert. Der ausintegrierte Teil fällt wegen der Randbedingung für $\begin{eqnarray*} \delta (t) \end{eqnarray*}$ weg. Dadurch kommt man zu den bekannten Euler-Lagrange-Gleichungen.

28.03.2012, 12:31

chris95

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Okay, wir haben das bisschen anders eingefuehrt.

Wir haben halt gesagt, dass:

$\begin{eqnarray*} \delta S = \frac{\partial S}{\partial y} \cdot \delta y +\frac{\partial S}{\partial \dot y} \cdot \delta \dot y \end{eqnarray*}$

Da ja $\begin{eqnarray*} S=\int L dt \end{eqnarray*}$ ist, so dachte ich, dass man dort auch unter anderem die partielle Ableitung reinzieht.

Das mit dem Parameter habe ich noch nie gehoert. Was ist dieses c? Hast du vielleicht eine gute Seite, die das noch bisschen erlaeutert?

Gruss,
chris

28.03.2012, 13:07

Huggy

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Man kann die Dinge natürlich unterschiedlich einführen. Bei deiner Definition ist ja noch offen, was denn $\begin{eqnarray*} \delta y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \dot y \end{eqnarray*}$ sein soll. Erst danach kann man diskutieren, weshalb welche Umformungsregeln gelten.

28.03.2012, 14:13

chris95

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Stimmt, aber warum braucht man denn diesen Parameter c? Der steckt ja in meinen $\begin{eqnarray*} \delta y \end{eqnarray*}$ drinnen, oder?

28.03.2012, 14:49

Huggy

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Ich sage nicht, dass man diesen Parameter c unbedingt braucht. Aber das ist eine saubere Methode, die Problemstellung mit der normalen Ableitung zu lösen. Man braucht nicht vorher länglich Funktionalanalysis zu betreiben und eine Funktionalableitung zu definieren und deren Rechengesetze zu ergründen. Schon deine Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial S}{\partial y} \end{eqnarray*}$

ist ja keine normale Ableitung, sondern eine Funktionalableitung. Da muss man erst mal definieren, was das sein soll. Und erst daraus ergibt sich, wie man diese Funktionalableitung dann als normale Ableitung in das Integral befördern kann. Denn

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial L}{\partial y} \end{eqnarray*}$

ist eine normale partielle Ableitung.

29.03.2012, 13:29

chris95

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Okay, Danke fuer die Antwort.

Ich kenne mich leider mit Funktionalen nicht gut aus. Aber ist L(y,y') nicht auch ein Funktional?

Viele Gruesse,
chris

29.03.2012, 13:48

Huggy

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$\begin{eqnarray*} L(y(t), \dot y(t),t) \end{eqnarray*}$ ist eine ganze normale Funktion, nämlich eine Abbildung von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen. Ein Funktional ist die Abbildung einer Funktion in die reellen Zahlen oder in einen anferen Körper. Ein Funktional ist also die Funktion einer Funktion. Das bestimmte Integral einer Funktion ist daher ein Funktional. Und deshalb ist S ein Funktional.

Für eine allgemeinere und präzisere Definition von Funktional darf ich dich auf die Literatur verweisen.

29.03.2012, 14:17

chris95

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Cool, danke mal fuer die anschauliche Erklaerung. Dann muss ich mich wohl noch auf die Funktionalanlysisvorlesung gedulden, bis ich das Variationsprinzip komplett durchcheck.

Danke fuer euere Muehen.

31.03.2012, 00:14

chris95

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Gilt die Leibnizregel eigentlich auch fuer partielle Ableitungen, statt totalen?

31.03.2012, 09:05

Huggy

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Natürlich. Wenn das Integral mehrere Parameter hat, kann man nach dieser Regel auch partiell nach einem davon ableiten.

31.03.2012, 13:30

chris95

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Danke, Huggy! smile

smile

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