Normalverteilung

26.03.2012, 16:20

MatheMathosi

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Normalverteilung

Meine Frage:
In einer Getränkefabrik beträgt der Sollwert einer Flaschenfüllung 0,8 Liter.
Die tatsächliche Füllmenge genügt einer Normalverteilung mit $\begin{eqnarray*} \sigma = 0,02 \end{eqnarray*}$

(a)Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Flasche mindestens 0,79 Liter enthält ?

(b)Welche Füllmenge wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% unterschritten ?

Meine Ideen:
Also für die Standardnormalverteilung N(0,1) gibt es ja die Funktion $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ mit einer Wertetabelle. Wie ist das mit der $\begin{eqnarray*} N(\mu,\sigma^{2}) \end{eqnarray*}$ Verteilung ?

Ich würde das jetzt wie folgt machen zu (a) :

$\begin{eqnarray*} Z:=\frac{X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(0,79\leq x \leq 0,8)=P(\frac{0,79-\mu}{0,02}\leq \frac{X-\mu}{0,02}\leq \frac{0,8-\mu}{0,02}=P(\frac{0,79-\mu}{0,02}\leq Z\leq\frac{0,8-\mu}{0,02})=\Phi(\frac{0,8-\mu}{0,02})-\Phi(\frac{0,79-\mu}{0,02}) \end{eqnarray*}$

Nur was ist denn dann hier mein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ?
Ist das soweit ok ?

26.03.2012, 16:32

Math1986

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RE: Normalverteilung
Irgendwie hast du die Aufgabenstellung inhaltlich nicht verstanden:
Es ist $\begin{eqnarray*} \mu=0,8 \end{eqnarray*}$ der Erwartungswert der Normalverteilung.

Gefragt ist ferner:

Zitat:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Flasche mindestens 0,79 Liter enthält ?

Es gibt also nach oben hin keine Grenze.

Gefragt ist also vielmehr:
$\begin{eqnarray*} P(0,79\leq X) \end{eqnarray*}$

26.03.2012, 16:48

MatheMathosi

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ok !

Aber ich muss das doch auf die Form bringen, so dass ich eine N(0,1) Verteilung habe oder ?

$\begin{eqnarray*} <br /> P(0,79 \leq X)=P(0,79-0,8 \leq X-0,8)=P(\frac{0,79-0,8}{0,01}\leq \frac{X-0,8}{0,01})=1-P(\frac{0,79-0,8}{0,01} > \frac{X-0,8}{0,01})=1-\Phi(\frac{0,79-0,8}{0,01})<br /> \end{eqnarray*}$

So besser ?

26.03.2012, 16:56

Math1986

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Wie kommt die 0,01 in den Nenner? verwirrt

verwirrt

Da muss eine 0,02 hin, sonst stimmt es Freude

Freude

26.03.2012, 17:06

MatheMathosi

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ohh ok !

Jetzt habe ich ja

$\begin{eqnarray*} <br /> P(0,79\leq X)=1-\Phi(-0,5)=1-(1-\Phi(0,5))=\Phi(0,5)=0,6915<br /> \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt ?

26.03.2012, 17:11

Math1986

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Stimmt

Freude

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26.03.2012, 17:16

MatheMathosi

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Ok super Danke !

Kannst du mir bei der Aufgabe (b) auch noch behilflich sein ?

26.03.2012, 17:33

Math1986

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Versuch doch erstmal zu formulieren was überhaupt gegeben ist

26.03.2012, 17:39

MatheMathosi

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Mein Ansatz wäre hier

$\begin{eqnarray*} <br /> 0,05=P(a\geq x)=P(\frac{a-\mu}{\sigma}\geq \frac{x-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})=\Phi(\frac{a-0,8}{0,02})<br /> \end{eqnarray*}$

Weiter weiss ich nicht

26.03.2012, 18:03

Math1986

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Den Wert für $\begin{eqnarray*} 0,05=\Phi(\frac{a-0,8}{0,02}) \end{eqnarray*}$ kannst du dir aus der Tabelle ablesen (aus den Werten denjenigen, der 0,5 am nächsten kommt), dann umstellen

26.03.2012, 18:06

MatheMathosi

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Bei der Tabelle die ich habe :
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung

Sind die Werte aber erst ab 0,5 gegeben ?
Verstehe ich gerade nicht verwirrt

verwirrt

26.03.2012, 18:27

MatheMathosi

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Also ich habe dann ja

$\begin{eqnarray*} <br /> 0,05=\Phi(x)=\Phi(\frac{a-0,8}{0,02}) <br /> \end{eqnarray*}$

und daraus folgt dann

$\begin{eqnarray*} <br /> x=\frac{a-0,8}{0,02}\\<br /> <br /> a=x \cdot 0,02+0,8<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Aber wie bekomme ich hier x. Verstehe das mit der Tabelle gerade nicht

27.03.2012, 18:18

Math1986

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Die Glöeichung $\begin{eqnarray*} 0,05=\Phi(x) \end{eqnarray*}$ stimmt ja schonmal, nun musst du dir die Werte der Normalverteilungstabelle anschauen und die Randwerte ablesen, also genau andersrum wie in der ersten Aufgabe.

27.03.2012, 18:39

MatheMathosi

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Ja ich weiss schon was du meinst aber bei mir in der Tabelle die ich habe siehe oben gibt es diesen Wert nicht verwirrt

verwirrt

27.03.2012, 18:47

Math1986

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In dem Falle hast du negatives x. In der Tabelle steht, wie du negative Werte abliest.

27.03.2012, 19:06

MatheMathosi

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Ok ! Darauf muss man erst mal kommen.
Also habe ich dann

$\begin{eqnarray*} <br /> 0,05=1-0,95=1-\Phi(1,64)=\Phi(-1,64)<br /> \end{eqnarray*}$

Und schließlich

$\begin{eqnarray*} \Phi(-1,64)=\Phi(\frac{a-0,8}{0,02}) \\ -1,64=\frac{a-0,8}{0,02} \\ a=0,7672 \end{eqnarray*}$

So ok ? Macht das ein Problem das ich für 0,95 den Wert 0,94950 genommen habe ?

27.03.2012, 19:13

Math1986

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Zitat:

Original von MatheMathosi
Macht das ein Problem das ich für 0,95 den Wert 0,94950 genommen habe ?

Ich hätte eher den nächstkleineren von 0,05, also den nöchstgrößeren von 0,95, genommen, damit du mit der Ergebnismenge auf der sicheren Seite bist, aber einen großen Unterschied macht das nicht.

27.03.2012, 20:47

MatheMathosi

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Ok alles klar. Vielen Dank !

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