Trigonometrische Gleichung 2

26.03.2012, 18:34

Jorg

Trigonometrische Gleichung 2

Meine Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} cos2x+cos^{2}x=sin^{2}x-0,5 \end{eqnarray*}$
Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} cos2x+cos^{2}x-sin^{2}x=-0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos2x+cos2x=-0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2cos2x=-0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos2x=- \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
Darf ich das so umformen?

Meine zweite Idee:
$\begin{eqnarray*} cos2x+cos^{2}x=sin^{2}x-0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-2sin^{2}x+1-sin^{2}x=sin^{2}x-0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2-3sin^{2}x=sin^{2}x-0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -4sin^{2}x=-2,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin^{2}x=\frac{5}{8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sinx=\pm \sqrt{\frac{5}{8} } \end{eqnarray*}$

Welche Idee ist richtig oder besser?

Danke im voraus Freude

26.03.2012, 18:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Beide sind richtig. Freude

Ich würde den ersten nehmen, da ist nur ein "Zweig" aufzulösen.

26.03.2012, 18:52

Jorg

Auf diesen Beitrag antworten »

2x=1.8235
2x=4,4597

x=0,9117
x= 2,2299
Das sind meine Lösungen. Stimmen die?
Ich kann ja $\begin{eqnarray*} 2n\pi \end{eqnarray*}$ zu den Lösungen dazu addieren um die allgemeinen Lösungen zu bekommen oder muss ich das sogar immer dazu schreiben?
Muss ich das so machen:
$\begin{eqnarray*} 2x=1.8235+2n\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0,9117 +n\pi \end{eqnarray*}$
Oder so $\begin{eqnarray*} x=0,9117 +2n\pi \end{eqnarray*}$ ????

26.03.2012, 18:59

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jorg
Muss ich das so machen:
$\begin{eqnarray*} 2x=1.8235+2n\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0,9117 +n\pi \end{eqnarray*}$

Natürlich so. Die Gesetze der Gleichungsumformung sind ja nicht plötzlich aufgehoben, nur weil Winkelfunktionen involviert sind. Augenzwinkern

Oder kurz alle Lösungen zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} x = \pm \frac{1}{2}\arccos\left( -\frac{1}{4} \right) + n\pi \end{eqnarray*}$

26.03.2012, 19:09

Jorg

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat die Gleichung dann nur meine 2 Lösungen oder noch mehrere?
Weil in meinem Buch stehen die Lösungen
x1=0,9117
x2=2,2299
x3=5,3714
x4=4,0533
Kann das sein das wenn ich meine zweite Idee verwendet hätte das ich dann auch diese vier Lösungen hätte weil ich eine Wurzel habe und somit $\begin{eqnarray*} sinx=\sqrt{\frac{5}{8} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sinx=-\sqrt{\frac{5}{8} } \end{eqnarray*}$ ????

28.03.2012, 06:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jorg
Hat die Gleichung dann nur meine 2 Lösungen

Wieso "2 Lösungen" ? Über das variable $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bedeutet

$\begin{eqnarray*} x = \pm \frac{1}{2}\arccos\left( -\frac{1}{4} \right) + n\pi \end{eqnarray*}$

unendlich viele Lösungen, davon insbesondere vier im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\arccos\left( -\frac{1}{4} \right)+ n\pi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\arccos\left( -\frac{1}{4} \right) + n\pi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$

28.03.2012, 11:58

Jorg

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe. Freude

Komm nur nicht drauf wieso ein $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\arccos\left( -\frac{1}{4} \right) + n\pi \end{eqnarray*}$ steht.

28.03.2012, 18:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jorg
Komm nur nicht drauf wieso ein $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\arccos\left( -\frac{1}{4} \right) + n\pi \end{eqnarray*}$ steht.

Der Kosinus ist eine gerade Funktion, d.h. symmetrisch bezüglich der y-Achse, in Formeln

$\begin{eqnarray*} \cos(-x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$ .

Das hat zur Folge, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} \cos(x)=a \end{eqnarray*}$ für gegebenes $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -1<a<1 \end{eqnarray*}$ genau zwei $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodische $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Lösungsscharen besitzt:

$\begin{eqnarray*} \arccos(a)+2n\pi \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} -\arccos(a)+2n\pi \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die ganzen Zahlen durchläuft.

Sollte eigentlich in der Schule drankommen, wie man Sinus und Kosinus richtig "umkehrt", aber ich sehe ständig hier im Board ähnliche Defizite oder zumindest Unsicherheiten - du bist da also in guter Gesellschaft. Augenzwinkern

P.S.: Für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ fallen übrigens beide Lösungsscharen zusammen, d.h. man dann nur noch eine Lösungsschar. Für $\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ gilt das gleiche.

29.03.2012, 15:42

Jorg

Auf diesen Beitrag antworten »

Bin leider noch nicht in der Schule.
Danke für deine Hilfe Freude

29.03.2012, 19:54

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jorg
Bin leider noch nicht in der Schule.

Dann vielleicht Kindergarten? verwirrt