DGL 3.Ordnung in DGL 1. Ordnung überführen mit Matrixschreibweise

26.03.2012, 18:56

KingWarrior

DGL 3.Ordnung in DGL 1. Ordnung überführen mit Matrixschreibweise

Hallo,

folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} y'''+y''-4y'-4y = e^{-t}+sin(t) \end{eqnarray*}$

Ich soll die DGL nun in die 1.Ordnung überführen und in Matrixschreibweise darstellen.

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} y=z_1<br /> y'=z_2<br /> y''=z_3 \end{eqnarray*}$

Daraus baue ich dann:
$\begin{eqnarray*} y'''= -z_3+4z_2+4z_1+e^{-t}+sin(t) \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht weiter. Wer kann helfen? Danke.

26.03.2012, 19:38

Che Netzer

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RE: DGL 3.Ordnung in DGL 1. Ordnung überführen mit Matrixschreibweise
Hier ein weiterer Schritt:
$\begin{eqnarray*} z_1'=z_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2'=z_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_3'=y'''=\dots \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} z'=\begin{pmatrix}z_1'\\z_2'\\z_3'\end{pmatrix}=\dots \end{eqnarray*}$

mfg,
Ché Netzer

26.03.2012, 19:47

KingWarrior

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$\begin{eqnarray*} y'''=z_3'=-z_2'+4z_2+4z_1+e^{-t}+sin(t) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Die Matrix bekomme ich nicht auf die Reihe. Sage mir mal bitte, was im Prinzip die erste Zeile oder die erste Spalte sein soll? Das konnte ich aus dem Formalismus aus der Vorlesung auch nicht entnehmen ... unglücklich

26.03.2012, 20:11

Che Netzer

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Ja, deine Gleichung stimmt.
Allerdings solltest du $\begin{eqnarray*} z_2' \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ ersetzen.
Die Form mit der matrix kannst du als Gleichungssystem auffassen.
Ähnlich wie du aus
4x+2y=4
2x-6y=1
auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\2&-6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ machen kannst.
Jetzt musst du
$\begin{eqnarray*} z_1'=0z_1+1z_2+0z_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2'=0z_1+0z_2+1z_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_3'=4z_1+4z_2-z_3+(e^{-t}+\sin(t)) \end{eqnarray*}$
mit einer Matrix schreiben. (den letzten Term der dritten Gleichung kannst du in einem separaten Vektor schreiben)

27.03.2012, 17:51

KingWarrior

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$\begin{eqnarray*} y'''=z_3'=-z_3+4z_2+4z_1+e^{-t}+sin(t) \end{eqnarray*}$

Daraus erstelle ich jetzt folgendes LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z_1' \\ z_2' \\ z_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 4 & 4 & -1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ e^{-t}+sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

27.03.2012, 17:55

Che Netzer

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Die ersten beiden Zeilen sind noch falsch.
Bei dir wäre $\begin{eqnarray*} z_1'=4z_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2'=-z_3 \end{eqnarray*}$ .
Der Rest sieht gut aus.

(Die z-Vektoren kannst du auch noch als z' und z schreiben, muss aber natürlich nicht sein)

27.03.2012, 19:02

KingWarrior

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Zitat:

Die ersten beiden Zeilen sind noch falsch.
Bei dir wäre und...

Ist das nicht so? Wenn nicht , dann habe ich nicht verstanden, wie man die Matrix erstellt. Warum muss ich denn die Koeffizienten 4 und -1 nicht mit einbeziehen?

27.03.2012, 19:50

Che Netzer

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Die hast du doch schon in der dritten Zeile mit einbezogen.
Das ist die Gleichung für $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ .

Die für die ersten beiden habe ich dir ja aufgeschrieben (der Beitrag direkt vor deinem Lösungsversuch)

02.04.2012, 11:04

KingWarrior

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Kann man also sagen, dass immer 0 und 1 da
stehen muss und.nur.in der letzten Zeile die Koeffizienten mit drin sind?

02.04.2012, 11:14

Che Netzer

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Genau.
(Sieht dann übrigens auch so ähnlich aus wie die Begleitmatrix zu einem charakteristischen Polynom)

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