Gleichung hat keine ganzzahlige Lösung

26.03.2012, 22:11

mattix

Gleichung hat keine ganzzahlige Lösung

Meine Frage:
Hallo!
Ich soll zeigen, dass folgende Gleichung keine ganzzahlige Lösung hat:
$\begin{eqnarray*} 7x^{3}+2=y^{3} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zuerst habe ich die Gleichung mod 2 genommen. Dann hab ich also $\begin{eqnarray*} 7x^{3}=y^{3} (mod 2) \end{eqnarray*}$
Ich wollte einen Satz aus der VL anwenden.
Dieser besagt, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} ax\equiv b (mod m) \end{eqnarray*}$ genau dann Lösungen hat, wenn $\begin{eqnarray*} ggT(a,m)|b \end{eqnarray*}$ .
Nun habe ich ja hier aber $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und weiß nicht so recht, was ich damit anfangen soll und ob ich diesen Satz überhaupt hier benutzen kann.
Für Tipps wäre ich sehr dankbar!

26.03.2012, 22:34

Mystic

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RE: Gleichung hat keine ganzzahlige Lösung

Zitat:

Original von mattix
Ich wollte einen Satz aus der VL anwenden.
Dieser besagt, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} ax\equiv b (mod m) \end{eqnarray*}$ genau dann Lösungen hat, wenn $\begin{eqnarray*} ggT(a,m)|b \end{eqnarray*}$ .
Nun habe ich ja hier aber $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und weiß nicht so recht, was ich damit anfangen soll und ob ich diesen Satz überhaupt hier benutzen kann.

Du hättest auch schreiben können, dass es einen Satz gibt, wonach

$\begin{eqnarray*} x^3+y^3=z^3 \end{eqnarray*}$

keine Lösung x,y,z in positiven ganzen Zahlen besitzt... Auch dieser Satz stimmt, wie im wesentlichen schon Euler gezeigt hat und lässt sich auf die gegebene Diphantische Gleichung nicht anwenden... Desgleichen kenne ich noch jede Menge an Sätzen, wo ein möglicher Bezug zu dem in Rede stehenden Problem vorhanden ist, der aber dann doch nicht da ist...

So kommen wir also hier nicht weiter... Ich würde daher damit aufhören, nach irgendwelchen Sätzen zu suchen, die hier vielleicht anwendbar sind (oder auch nicht!), sondern einfach mal ganz primitiv damit anfangen, eine Wertetabelle für die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(y) = y^3-2 \mod 7 \end{eqnarray*}$

für y=0,1,2,3,4,5,6 zu erstellen... Vielleicht fällt dir ja dabei schon etwas auf...

26.03.2012, 22:45

mattix

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Ok, danke!
Das hab ich gemacht und als Ergebnis kam immer nur 4,5,6 heraus, also niemals 0.
Bin ich damit dann schon fertig? Das wäre dann ja schon fast zu einfach gewesen. Hammer

26.03.2012, 22:50

Mystic

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Naja, wirklich einfach wäre das erst gewesen, wenn du das auch ohne meinen Hinweis gesehen hättest... Wink

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