Übung für Klausur

26.03.2012, 23:08	maths_1	Auf diesen Beitrag antworten »
Übung für Klausur hallo matheboarder! ich lerne im moment für meine geometrie klausur und beim rechnen alter klausuraufgaben bin ich über folgende 2 aufgaben gestolpert. ich hoffe ihr könnt mir sagen wie und was ich machen muss. 1.) $\begin{eqnarray} c(t) = (e^t \cos {t} , e^t \sin {t} , e^t) \end{eqnarray}$ ist eine Kurve im $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(u,v) = (u \cos {v} , u \sin {v}, u) \end{eqnarray}$ ist eine Fläche im $\begin{eqnarray} R^3 \end{eqnarray}$ so und ich soll nun zeigen, dass die kurve auf der fläche liegt. 2.) $\begin{eqnarray} c(t) = (e^t, \cos {t} ,\sin {t} ) \end{eqnarray}$ ist eine Kurve auf der Fläche $\begin{eqnarray} f(u,v) = (u, \cos {v} , \sin {v} ) \end{eqnarray}$ . ich soll nun sagen ob die kurve eine geodäte der fläche ist. die beiden aufgaben sind unabhängig von einander und haben nichts miteinander zu tun. ich hoffe mir kann jemand zeitnah helfen, da ich am mittwoch bereits die klausur schreibe :-)
27.03.2012, 00:41	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Aufgabe 1) ist durch eine triviale Substitution zu lösen. Bei Aufgabe 2) kann ich dir leider nicht helfen, da mir der Begriff des Geodäten nichts sagt. Solltest du an dieser Stelle der Aufklärung zuträglich sein, kann ich ggf. nach Sonnenaufgang behilflich sein.
27.03.2012, 01:17	maths_1	Auf diesen Beitrag antworten »
hey chrizke, also (das hätte ich vllt dazu schreiben sollen, tut mir leid), dass die erste durch substitution zu lösen ist, hatte ich mir fast gedacht. aber was substituiere ich denn da für was bei 2.) haben wir die geodäten über die geodätische Krümmung bestimmt (bin leider auf uni-niveau alles andere als ein mathe-ass, hoffe es ist nicht falsch). also geodätische krümmung bestimmt und dann $\begin{eqnarray} K_{geod} = 0 \end{eqnarray}$ gesetzt. nun haben wir geschaut für welche parameter die bedingung erreicht wird. also z.b. $\begin{eqnarray} K_{geod} = \frac{v_0}{1+v_0^2} \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} v_0 = 0 \end{eqnarray}$ eine geodäte. so habe ich es verstanden ich denke ich muss hier dann auch wieder substituieren.
27.03.2012, 13:15	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Aufgabe 2). Deine Kurve [exp(t)\|cos(t)\|sin(t)] kann man als Bahnkurve eine Jeeps im Gebirge [u\|cos(v)\|sin(v)] interpretieren. Bei dieser Fahrt wirken gewisse Trägheitkräfte: Erstens: Bei Rechts-Links-Kurven wirkt eine Trägheitskraft, die den Fahrer nach links oder rechts drückt. Zweitens: Bei Berg-und-Tal-Fahrt wirkt eine Trägheitskraft, die den Fahrer aus dem Sitz hebt bzw. in den Sitz hinein drückt. Eine Geödäte ist eine Gebirgsstraße, bei der der Fahrer immer "geradeaus" fährt, also ohne Rechts-Links-Kurven, aber beliebig über Berg und Tal. Der Fahrer spürt also nur Trägheitskräfte nach "oben oder unten" aber niemals nach rechts und links. Du muss also zeigen, dass die seitliche Trägheitskraft (also die seitliche Krümmung der Kurve) verschwindet. In der Differenzialgeometrie bezeichnet man diese seitliche Krümmung als "geodätische Krümmung".

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