Mengenbeweise Herangehensweise

27.03.2012, 12:09

Kosmodr

Mengenbeweise Herangehensweise

Meine Frage:
Hallo,

ich habe extrem große Probleme mit dem Beweisen von Mengen. Mir fehlt einfach der richtige Ansatz. Wenn ich mir eine Lösung zu einer Aufgabe sehe, dann denke ich mir: "Ok, ist logisch, krieg ich hin" Sobald ich mich jedoch selbstständig daran setzte. Bekomme ich außer: "Seien A, B beliebinge Mengen..." nichts hin.

Ich bitte euch um Hilfe, da ich bald unter anderem darüber eine Prüfung schreiben muss und dieses Thema in der Klausur nicht einfach rauslassen möchte.

Vielleicht hat jemand ein paar Tipps zu Herangehensweise an dieses Thema. Welche Überlegungen muss man zur aller erst treffen? Wie geht man vor? Vielleicht ein paar andere oder weitere Tipps.

Meine Ideen:
Als Beispiel hier eine Aufgabe aus einer Übungsklausur um welche Art der Mengen es mir überhaupt geht: $\begin{eqnarray*} S \cup T \subseteq S <-> T \subseteq S \end{eqnarray*}$ .

Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.

27.03.2012, 12:18

Gast11022013

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Kannst Du erstmal zeigen, wie Du die Beispielaufgabe beweisen würdest bzw. was Dein Ansatz wäre? Dann kann man besser sehen, was schiefgeht oder was bereits okay ist.

Allgemein kann man vielleicht sagen, daß man bei Mengenidentität immer zwei Inklusionen zu zeigen hat. Allgemein nimmt man sich i.d.R. ein Element aus der jeweiligen Menge her und zeigt dann, daß es auch in der anderen Menge enthalten ist.

27.03.2012, 12:25

Kosmodrom

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Achso noch etwas zu meinem Ansatz.

Mir ist klar, dass die <-> jetzt aufgespaltet werden muss in:

1. $\begin{eqnarray*} S \cup T \subseteq S -> T\subseteq S \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} T \subseteq S -> S\cup T \subseteq S \end{eqnarray*}$

zu 1.

Seien S, T beliebige Mengen mit $\begin{eqnarray*} S \cup T \subseteq S \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist

$\begin{eqnarray*} T\subseteq S \end{eqnarray*}$ . Sei dazu x e $\begin{eqnarray*} S \cup T \subseteq S \end{eqnarray*}$ (?). Nach der Def. Ab hier... keine Ahnung.

Edit: Ok in der Lösung steht x e T aber warum ? Man nimmt sich also immer ein x aus der Menge die zu Beweisen ist und nicht aus der Voraussetzung?

27.03.2012, 12:38

Gast11022013

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Zitat:

Original von Kosmodrom

Mir ist klar, dass die <-> jetzt aufgespaltet werden muss in:

1. $\begin{eqnarray*} S \cup T \subseteq S -> T\subseteq S \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} T \subseteq S -> S\cup T \subseteq S \end{eqnarray*}$

Genau.

Zitat:

Original von Kosmodrom

zu 1.

Seien S, T beliebige Mengen mit $\begin{eqnarray*} S \cup T \subseteq S \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist

$\begin{eqnarray*} T\subseteq S \end{eqnarray*}$ . Sei dazu x e $\begin{eqnarray*} S \cup T \subseteq S \end{eqnarray*}$ (?). Nach der Def. Ab hier... keine Ahnung.

Sei $\begin{eqnarray*} S\cup T\subseteq S \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet was nach der Definition einer Teilmenge?

Nimm' nun an, T sei nicht Teilmenge von S. Das bedeutet wiederum nach der Definition einer Teilmenge?

Leite daraus einen Widerspruch ab.

27.03.2012, 12:41

Kosmodrom

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Nach der Def. einer Teilmenge bdeutet das, dass alle x e SuT auch Elemente von S sind. Wenn T keine Teilmenge von S ist, dann ändert es sich nichts daran, dass S u T trotzdem immernoch die Teilmenge von S ist oder ?

27.03.2012, 12:45

Gast11022013

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Zitat:

Original von Kosmodrom
Nach der Def. einer Teilmenge bdeutet das, dass alle x e SuT auch Elemente von S sind.

Das stimmt. Formal notiert bedeutet das:

$\begin{eqnarray*} \forall x\in S\cup T\Rightarrow x\in S \end{eqnarray*}$ .

Den Rest, den Du aufgeschrieben hast, verstehe ich nicht bzw. das ist kein Beweis.

Nimm' wie gesagt an, $\begin{eqnarray*} T\nsubseteq S \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt's ein $\begin{eqnarray*} x_0\in T \end{eqnarray*}$ , für das gilt: $\begin{eqnarray*} x_0\notin S \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt einen Widerspruch. Wieso?

27.03.2012, 12:54

Kosmodrom

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Ehrlich gesagt erkenne ich das nicht unglücklich

Edit: Das wäre dann ja keine Teilmenge mehr.

27.03.2012, 12:56

Gast11022013

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Einerseits: $\begin{eqnarray*} x_0\notin S \end{eqnarray*}$

Andererseits: $\begin{eqnarray*} x_0\in S\cup T \end{eqnarray*}$ , d.h. nach Annahme $\begin{eqnarray*} x_0\in S \end{eqnarray*}$

27.03.2012, 13:06

Kosmodrom

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Ich erkenne nicht worauf du damit hinaus willst

27.03.2012, 13:09

Gast11022013

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Das ist ein Widerspruchsbeweis.

Zeigen willst Du $\begin{eqnarray*} T\subseteq S \end{eqnarray*}$ unter der Annahme, daß $\begin{eqnarray*} S\cup T\subseteq S \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, $\begin{eqnarray*} T\nsubseteq S \end{eqnarray*}$ . Dann kommst Du zu einem Widerspruch. Es gibt dann nämlich ein Element, das zugleich Element von S ist und nicht Element von S ist, was ja nicht sein kann. Das ist das, was ich oben aufgeschrieben habe.

Also muss gelten: $\begin{eqnarray*} T\subseteq S \end{eqnarray*}$ .

27.03.2012, 13:21

Kosmodrom

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Ok. Damit wäre also die erste Aussage bewiesen richtig?

27.03.2012, 13:23

Gast11022013

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Ja, genau. Diese Implikation ist damit bewiesen.

Bleibt noch die andere Richtung zu zeigen.

Die kann man sehr ähnlich zeigen; ich würde wieder einen Widerspruchsbeweis vorschlagen.

27.03.2012, 13:25

Kosmodrom

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dieser Wiederspruchsbeweis ist das der "oder-aus"-Schluss?

27.03.2012, 13:28

Gast11022013

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Was genau meinst Du mit "oder-aus-Schluss"?

Wenn Du damit meinst, daß man wegen der Vereinigung irgendwo mal benötigt, daß ein Element aus der einen oder der anderen Menge stammt, ja. Das braucht man hier.

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