3 Primitivwurzel modulo Fermat Primzahl |
27.03.2012, 13:52 | xlynax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
3 Primitivwurzel modulo Fermat Primzahl Hallo, Ich habe ein Problem bei der Aufgabe zu beweisen, dass 3 eine Primitivwurzel modulo Primzahlen der Form ist. Meine Ideen: Ich muss ja zeigen, dass die Ordnung von 3 mod p ist. D.h. wenn Ich hab in umgeschrieben und dann den binomischen Lehrsatz angewendet, aber irgendwie bringt mich das wohl nicht weiter, denn mir ist nicht klar, warum die erhaltene Summe nicht equivalent zu 1 sein kann... Schonmal danke! |
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27.03.2012, 14:05 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: 3 Primitivwurzel modulo Fermat Primzahl
Erstens ist das so klar falsch, denn 3 ist sicher nicht Primitivwurzel für p=3... Zum zweiten gilt offenbar, dass für jede feste Primitivwurzel g mod p dann alle anderen einfach durch g^k mod p mit einem ungeradem k im Bereich {1,2,...,p-2} gegeben sind... Woran erinnert dich das? Grübel, grübel... |
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27.03.2012, 17:18 | xlynax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: 3 Primitivwurzel modulo Fermat Primzahl
Das stimmt. Es muss wohl fuer gemeint sein, aber in der Aufgabe ist das nicht erwähnt.
Leider muss ich zugeben, dass mich das jetzt an nichts erinnert und warum muss k ungerade sein? Vielleicht stehe ich aber auch dermassen auf dem Schlauch... |
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27.03.2012, 18:06 | xlynax | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Komme ich da vielleicht mit Induktion weiter? Aber da habe ich dann das Problem, dass z. B. fuer also ja keine Primzahl ist!?! |
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27.03.2012, 18:24 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: 3 Primitivwurzel modulo Fermat Primzahl
Hm, es sollte dich eigentlich daran erinnern, dass genau die Potenzen mit einer geraden Hochzahl die quadratischen Rest mod p sind, wobei p dafür nur eine ungerade Primzahl zu sein braucht... Damit gilt dann speziell für unsere Primzahlen hier, nach dem was oben schon gesagt wurde, dass die Primitivwurzeln mod p genau mit den quadratischen Nichtresten mod p übereinstimmen... Ich hoffe, das hilft dir jetzt endlich weiter, sonst bin ich mit meiner Weisheit am Ende... |
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