schwache Ableitung

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27.03.2012, 14:24	funki2	Auf diesen Beitrag antworten »
schwache Ableitung Hallo Freunde, hier ist eine Frage aus der Funktionalanalysis. Ich möchte über schwache Ableitungen wissen, was genau die Bedingungen an die Testfunktionen sind, was z.B. heißt kompakter Täger, bitte ein Beispiel. Kann hier leider keine konkrete Frage stellen, suche einfach ein paar Hinweise, was eine Testfunktion ist. Ich hatte Folgendes versucht: Ich wollte die schwache Ableitung für die Funtkion f(x)= x für x Element [0,1] und f(x)=1 für x Element (1,2] mit einer Undifferenzierbarkeitsstelle bei x=1. Ich hatte als schwache Ableitung f'(x)=1 auf [0,1] f'(x)=0 auf (1,2] (von mir aus beliebig umnormieren) Ich hatte als Testfunktion den Sinus genommen (auf Periode 2 normiert) aber dann kommt diese Funktion als schwache Ableitung nicht raus. Was mache ich falsch. Es wäre lieb, wenn mir jemand die schwache Ableitung der Funktion f(x) herleiten könnte. Meine Vermutung ist, dass der Sinus keine Testfunktion ist. Vielen Dank und alles Gute, Funki2
27.03.2012, 15:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schwache Ableitung Eine Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hat kompakten Träger in $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ , wenn es eine kompakte Menge K gibt, so dass $\begin{eqnarray} \{ x \in \Omega \colon f(x) \neq 0 \} \subset K \subset \Omega \end{eqnarray}$ gilt. Und nein, der Sinus ist im allgemeinen keine Testfunktion (warum?), wobei man das Gebiet $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ generell lieber offen definiert - dann muss man sich nicht mit den Randwerten der Ableitung rumschlagen. Was du zeigen willst ist, dass für jede Testfunktion gilt: $\begin{eqnarray} \int_0^2 \xi' f = - \int_0^2 \xi f' \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \xi \in C^\infty_0 ( (0,2) ) \end{eqnarray}$ Also fang links an, setz die Definition von f ein, integrier partiell, und guck was dabei rumkommt. Edit: Rechts anzufangen ist wohl natürlicher.
28.03.2012, 12:41	funki2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schwache Ableitung Hallo, ich komme auf die Funktion wie ich sie oben angegeben habe. Ist das richtig? Denn ich konnte es nicht richtig ausrechnen, da ich nicht weiß welche Testfunktion ich benutzen muss und da es ja für alle gelten muss kann ich das nicht für alle ausechnen. Wie kann man allgemein nachweisen, dass es funktioniert? Den Sinus kann ich nicht nehmen, da nicht alle seine Ableitungen an den Intervallgrenzen verschwinden, richtig? Also: wie kann ich eine geeignete Testfunktion nehmen und welche nehme ich da am besten? Ist mein Ergebnis richtig? Könnte ich bitte einen Rechenweg haben? Danke und sorry für meine Unwissenheit und meine chaotische Vorgehensweise. Danke, Funki
28.03.2012, 18:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schwache Ableitung Du musst es für alle Testfunktionen zeigen, also musst du es für alle ausrechnen. Statt aber jetzt jede der überabzählbar vielen Funktionen explizit zu nehmen und auszurechnen, nennt man es $\begin{eqnarray} \xi \in C^\infty_0 \end{eqnarray}$ - damit rechnet man per partielle Integration aus, ob es denn stimmt. Wenn wir $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ offen wählen, hier wäre es das Intervall $\begin{eqnarray} (0,2) \end{eqnarray}$ , würden wir erst einmal $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ entsprechend definieren, nämlich: $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} x & x \in (0,1] \\ 1 & x \in [1,2) \end{cases} \end{eqnarray}$ Nun, auf diesem Intervall hat der Sinus keinen kompakten Träger, ist also keine Testfunktion, und damit müssen wir also nicht testen. Und ja, deine Ableitungen stimmen, denn: falls es starke Ableitungen gibt, stimmen die schwachen Ableitungen damit überein. D.h. auf (0,1) und (1,2) hast gar keine andere Wahl als diese zu nehmen (bis auf eine Nullmenge versteht sich). Und nachrechnen (skizzenhaft): $\begin{eqnarray} -\int_0^2 \xi f' = -\int_0^1 \xi = \int_0^1 \xi' x - \xi(1) = \int_0^1 \xi' x + \int_1^2 \xi' = \int_0^2 \xi' f \end{eqnarray}$ was zu zeigen war. Damit ist deine schwache Ableitung korrekt - und zwar für alle Testfunktionen \xi, da wir nie eine spezielle gewählt haben.
29.03.2012, 14:48	funki2	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das beantwortet meine Frage. Warum hat der Sinus keinen kompakten Träger? Ich steige durch die Definition nicht durch. Und ich hab bald neue...
29.03.2012, 14:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast das Intervall $\begin{eqnarray} (0,2) \end{eqnarray}$ , damit es kompakten Träger hat, musst du $\begin{eqnarray} 0 < a < b < 2 \end{eqnarray}$ wählen, so dass $\begin{eqnarray} \sin(x) = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in (0,1) \backslash [a,b] \end{eqnarray}$ . Wenn du a,b so nicht wählen kannst, hat die Funktion keinen kompakten Träger.
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30.03.2012, 13:03	funki2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hast du dich verschrieben? müsste es nicht 2 statt 1 heißen? Also mein Sinus hat Nullstellen bei z.B. 0 und 1 (enstprechend normiert). D.h. ich kann a und b gleich 0 bzw. 1 wählen. Dann erhalte ich doch als Träger (wenn ich die Menge abschließe) mein gesamtes Gebiet [0,1] und somit kompakt. Wo ist mein Fehler? Vielen Dank für die Hilfe. Edit: Und wenn ich eine Testfunktion habe, wieso hat die dann einen kompakten Träger? Soweit ich verstaden habe ist eine Testfunktion eine unendlich oft diffbare Funktion, die an den Rändern gegen Null geht, sowie deren sämtliche Ableitungen (ist das richtig?). Z.B. $\begin{eqnarray} e^{\frac{1}{1-\|x\|^2}} \end{eqnarray}$
30.03.2012, 14:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich hab mich verschrieben - es soll (0,2) \ [a,b] heißen. Das Problem ist, dass a nicht 0 sein darf, und b nicht 2 (die kompakte Menge muss im Intervall enthalten sein). Auf einer beschränkten und abgeschlossenen Menge ( dein Beispiel mit [0,2] ) besitzt jede Menge einen kompakten Träger. Aber dort betrachtet man Testfunktionen ja nicht, sondern auf einem offenen Gebiet, deswegen hab ich dein Problem etwas umgeschrieben. Testfunktionen "gehen" nicht nur gegen 0, man kann sagen wo sie 0 werden und danach 0 bleiben (da sie 0 bleiben und sich nicht ändert, ist auch die Ableitung konstant 0 dann - und da die sich nicht ändert, ist auch die zweite Ableitung 0 usw.). So geht z.B. $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^{-x^2} \end{eqnarray}$ gegen 0, und auch alle Ableitungen, es hat aber keinen kompakten Träger, da es über den ganzen Raum positiv ist. Deine Beispielsfunktion ist hat also auch nicht überall kompakten Träger - es kommt darauf wo man sie betrachtet. Für offene Mengen, die [-1,1] komplett enthalten, zum Beispiel die reellen Zahlen, stimmt diese Aussage. Betrachten wir die Funktion nun auf $\begin{eqnarray} (-1, 1) \end{eqnarray}$ hat sie plötzlich keinen kompakten Träger mehr. Denn für jedes kompakte Intervall [a,b] mit -1 < a < b < 1 ist die Funktion auf (-1, 1) \ [a,b] nicht konstant 0. Um es mit der Definition von Wikipedia zu verdeutlichen: Sei $\begin{eqnarray} f: (-1,1) \to \mathbb{R}, x \mapsto e^{\frac{1} {1-x^2}} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \operatorname{supp}(f) := \overline{\{x\in A \mid f(x)\ne 0\}} = \overline{(-1,1)} = (-1,1) \ne [-1,1] \end{eqnarray}$ Das kommt daher, da man den Abschluss im Raum (-1,1) betrachtet, ausgestattet mit der Unterraumtopologie. Und mit dieser Topologie ist der Raum nicht kompakt.
01.04.2012, 00:28	funki2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank. Das ist mir noch nicht schlüssig, vor allem weil ich den Artikel bei Wikipedia nicht gut verstehen kann. Was du sagst wiederhole ich hier kurz: An allen Stellen, wo meine Funktion nicht Null ist, ist der Träger der Funktion. Wenn mein betrachtetes Intervall [0,1] ist und meine Funktion jetzt mein Sinus (normiert mit Nullstellen bei 0 und 1) ist mein Träger die Abschließung von (0,1), also [0,1]. Diese Menge ist ganz in [0, 1] enthalten, also hat der Sinus auf der Menge [0,1] einen kompakten Träger. Soweit richtig? Jetzt kommt das Problem, dass die Mengen, auf denen Testfunktionen betrachtet werden offen sind. Hier hat mein Sinus keinen kompakten Täger mehr, richtig? Testfunktionen jedoch erfüllen dieses Kriterium aber schon, richtig? Da ergibt sich bei mir ein Widerspruch, denn ich lese bei Wikipedia nichts von offenen Mengen, und die Funktion, die bei Wiki als Testfunktion angegeben wird ist würde wie mein Sinus die von dir gegebene Definition nicht erfüllen, da sie nur für x=1 und x=-1 Null wird. Allerdings hat diese $\begin{eqnarray} e^{\frac{1}{x^2-1}} \end{eqnarray}$ Funktion die Eigenschaft, dass sie an den Rändern "unendlich Flach" wird, sodass ich sie unendlich oft differenzieren kann, ohne dass meine Ränder Unstetigkeiten und Undiffbarkeiten aufweisen. Der Sinus hat dieses Problem schon. Hat das was damit zu tun dass der Sinus keine Testfuntkion ist. Oder anders ausgedrückt: Was ganz genau heißt $\begin{eqnarray} C^\infty_0(\Omega) \end{eqnarray}$ Sorry, dass ich so einen Roman geschrieben habe. Aber ich bin froh, dass du mir hilfst. Danke
01.04.2012, 09:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht, wenigstens auf Wikipedia wird nicht gefordert, dass $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ offen ist - ich habe es vorher noch nie anders gesehen, deswegen dachte ich man definiert es gleich so. Die Gedanken zu Sinus auf [0,1] stimmen, allerdings besitzt auch f(x) = 1 für alle x aus [0,1] einen kompakten Träger in [0,1]. Und hier siehst du, dass das Konzept vom kompakten Träger überflüssig ist, da jede stetige Funktion auf [0,1] kompakten Träger hat. Man betrachtet allgemein, wenn Ableitungen im Spiel sind, offene Menge. Denn aktuell hättest du das Problem: Wie definierst du die Ableitung an der Stelle 0 oder 1? Natürlich kann man eine etwas schwächere (nicht so schwach wie diese in dem Thread) Ableitung definieren, aber dann muss man sich erst einmal klar machen, dass das auch der Begriff ist, den man haben will. Und ja, auf (-1,1) hat der Sinus keinen kompakten Träger mehr. Du kannst dir natürlich a,b suchen, und dann eine andere Funktion definieren: $\begin{eqnarray} f\colon (-1,1) \to [-1,1], x \mapsto \begin{cases} 0 & x \leq a \\ sin(x-a) & a < 0 < b \\ 0 & x \geq b \end{cases} \end{eqnarray}$ . Diese Funktion besitzt dann kompakten Träger in (-1,1), ist aber nicht einmal stetig (das mit stetig könnte man leicht retten, wenn man sich etwas mehr Mühe beim definieren gibt). Ohne das "Abschneiden" kannst du keinen kompakten Träger bekommen, da der Sinus periodisch ist. D.h. du kannst keine kompakte Mengen angeben, wo der ungleich 0 ist (kompakt heißt insbesondere beschränkt!). Aber in diesem Fall ist er nicht mehr unendlich mal differenzierbar, was man aber durch Falten hätte hinbekommen können. Es ist aber nicht mehr der klassische, etwas gestreckte Sinus. Also ich meinte (ich hätte ihn vorher schon angeben sollen) diesen Wikipediaartikel: http://de.wikipedia.org/wiki/Testfunktion Dort ist nur ein Beispiel, und das ist eine Verallgemeinerung des Beispiels was du gerade angegeben hast. $\begin{eqnarray} C^\infty_0 (\Omega) = C^\infty(\Omega) \cap C_0(\Omega) \end{eqnarray}$ , d.h. es sind zwei Eigenschaften: Zum einen muss diese Funktion unendlich oft differenzierbar sein, dort ist es erst einmal egal welchen Wert die Ableitungen haben. Die zweite Eigenschaft ist der kompakte Träger, d.h. die Funktion darf nur innerhalb einer kompakten Menge ungleich 0 sein. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass auch Ableitungen außerhalb dieser Menge 0 sind (beachte, das Komplement einer kompakten Menge ist offen - also hat man mit Ableitungen wieder keine Probleme). Der Sinus auf (0,1) ist unendlich mal differenzierbar, aber hat keinen kompakten Träger. Der abgeschnittene Sinus hat kompakten Träger, ist aber nicht differenzierbar.
02.04.2012, 18:41	funki2	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, dass das so lange gedauert hat... Ok, soweit ich das jetzt verstehe ist das Problem nicht, dass der abgeschnittene Sinus auf dem betrachteten Intervall keinen kompakten Träger hat (denn, da wir auch abgeschlossene Mengen betrachten können gibt es da keine Probleme) sondern dass er nicht unendlich of stetig differenzierbar auf dem Intervall ist. (beim Cosinus spätestens gibts sprungstellen...) Würden wir eine offene Menge als Definitionsmenge betrachten hätten wir zwar das Problem nicht, aber wir hätten keinen kompakten Träger in der Menge mehr. Also, egal wir man es dreht, es muss auf jedenfall eine Funktion eine Testfunktion sein, die an ihren Rändern unendlich flach wird. Ist das richtig? Und noch eine kleine Frage (hoffentlich) zu Schluss: Du hast von Faltung gesprochen. Mit was könnte ich denn einen Sinus Falten um eine unendlich oft differenzierbare Funktion zu bekommen? Und die Null unten am C heißt, dass die Funktion auf einer kompakten Menge nicht Null sein darf, eine Eins würde heißen, dass die Funktion auf einer kompakten Menge nicht eins sein darf, ja?
02.04.2012, 21:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Der abgeschnittene Sinus hat in abgeschlossenen und offenen Mengen kompakten Träger (wenigstens wenn man ihn rechtzeitig abschneidet). Wenn man ihn abschneidet (wenigstens so "primitiv") verliert er seine Differenzierbarkeit - auch das in offenen und abgeschlossenen Mengen. Der normale Sinus, unabgeschnitten, hat nun die Differenzierbarkeit, aber in offenen Mengen keinen kompakten Träger. [ Um genau zu sein auch nicht in allgemeinen abgeschlossenen Mengen, wenn sie beschränkt sind, dann hat jede stetige Funktion auf einer abgeschlossenen, beschränkten Menge kompakten Träger - wobei abgeschlossen und beschränkt eben Kompaktheit implziiert, also: Auf kompakten Mengen hat jede Funktion kompakten Träger). Und wie ich schon sagte, unendlich flach kommt aus der Eigenschaft des kompakten Trägers. Es wird nicht nur sehr flach, es wird konstant 0. Das ist eine wichtige Unterscheidung! Und falten kann man technisch gesehen mit jeder C^oo Funktion und man würde eine C^oo Funktion bekommen. Das kommt daher, dass $\begin{eqnarray} D ( \phi \Psi ) = ( D\phi * \Psi ) = ( \phi * D\Psi ) \end{eqnarray}$ . Aber das hat erst einmal nicht viel mit dem Sinus zu tun. Wählt man eine Standard-Dirac-Folge, dann konvergiert es im Integralsinne gegen den Sinus. $\begin{eqnarray} C_0 \end{eqnarray}$ ist einfach nur eine Bezeichnung für kompakten Träger. Die Bezeichnung $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray*}$ ist mir nicht geläufig, aber wenn wird es für etwas anderes stehen. Denn man interessiert sich erst einmal nicht wirklich, was im kompakten Träger los ist (und 0 darf sehr wohl vorkommen), man freut sich gewaltig, dass die Funktion außerhalb 0 ist. Direkte Konsequenzen? Jede Testfunktion ist integrierbar! Faltungen existieren immer! Partielles Integrieren wird schön! Und insb. im kompakten Träger sind sie unendlich mal differenzierbar. Konsequenzen: Integrale über beliebige Ableitungen existieren. Faltungen sind sofort unendlich oft differenzierbar. Jeder andere Spaß, der differenzierbar voraussetzt.
03.04.2012, 22:09	funki2	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlich Flach hatte ich in bezug auf mein Randgebiet gemeint, also meine Funktion wird, bevor sie zu identisch Null übergeht, unendlich flach. Ok, naja, wenn ich irgendeine Funktion mit einer Testfunktion falte, dann kommt halt eine unendlich oft diffbare Funktion heraus, aber dann hätte ich auch die Testfunktion gleich selber nehmen können... Also, ich denke das Thema können wir hier mal abschließen. Soweit ich das wollte habe ich hier glaube ich die Antwort gefunden. Danke IfindU. In den nächsten Wochen werden jedoch wahrscheinlich noch mehrere Funkana Threads von mit hier auftauchen. Würde mich hier über Hilfe wieder freuen. Danke und alles Gute, Funki

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