Konvergenzradius einer Potenzreihe

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totally Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius einer Potenzreihe
Meine Frage:
Bin beim lernen auf ein Bsp. gestoßen, das mir probleme bereitet. Ich hoffe hier kann mir jemand weiterhelfen!
Gefragt ist der Konvergenzradius der Potenzreihe:

;allerdings die ()^n^2

Meine Ideen:
nach dem Ansatz, komm ich eigentlich schon nicht mehr weiter:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
Zitat:
Original von totally
;allerdings die ()^n^2

Also so:

Da würde ich mal mit dem Wurzelkriterium rangehen.
totally Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
Ich hoffe ich darf das so anschreiben:



nun erhalte ich 1, WolframAlpha und der TI sagen aber es kommt e heraus?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
Erstens: Ein Grenzwert genügt.

Zweitens: Wohin verschwinden denn deine Exponenten?

Außerdem wurde dir doch das Wurzelkriterium empfehlen.
Da sollst du bestimmen, mit .

Auf diese Weise wird aus dem n² ein n.

Tipp dazu: Polynomdivision.

mfg,
Ché Netzer
totally Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
Sorry, bin mit dem thema noch nicht so vertraut. Ich soll ja den Konvergenzradius berechnen. Die Formel hierfür lautet doch:



oder?

Und da soll ich jetzt schon davor das Wurzelkriterium anwenden?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
Das ist aber nicht die einzige Möglichkeit.
Wenn man das Quotienten- oder das Wurzelkriterium anwendet, erhält man im besten Fall einen Grenzwert. Der Kehrwert davon ist der Konvergenzradius. Egal, welches Verfahren man verwendet hat.
 
 
totally Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
also, erhalte nach angewendetem Wurzelkriterium, Polynomdivision und de l'Hospital:



und nun? -das wird doch e^0 was wieder 1 ergibt??
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
Die linke Darstellung reicht doch schon; davon ist bekannt, dass der Grenzwert e ist.
totally Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
ahja genau.....ist schon ein bisschen her, danke!
totally Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
habe jetzt nnochmal nachgeschaut und lt meinem Skriptum ist es eigentlich:



aber ich nehme mal an das man die "+1" bei vernachlässigen darf?!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
So in etwa.
Einen formalen Beweis würde ich vielleicht über den Dreifolgensatz und Monotonie der Folge führen, aber das ist wohl nicht nötig...
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
Offtopic
Zitat:
vielleicht .... wohl nicht nötig...


Also zeigen wir doch, daß



Immerhin vermeiden wir Punktabzüge und wissen anschliessend, wofür Bernoulli an seiner Ungleichung gearbeitet hat ...

Wir betrachten

mit

Letzteres weil , sodass für Bernoulli erfüllt ist.

Wir erkennen und
totally Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
OK, danke. Habe aber schon ein neues Problem und wäre dankbar wenn ihr mir hier auch helfen könntet! Gesucht ist wieder der Konvergenzradius. Und dieses mal glaube ich das ich mit dem quotientenkriterium richtig bin.





Leider weiß ich nicht wie ich die (n-1)! bzw. (n-2)! vereinfachen kann??? -ansonsten würde sich alles schön kürzen......
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
Das kürzt sich auch so schon schön. Beispiel:

Schreibt (n-1)! einfach als (n-2)!*(n-1)
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe
Zitat:
Original von SusiQuad
Immerhin vermeiden wir Punktabzüge und wissen anschliessend, wofür Bernoulli an seiner Ungleichung gearbeitet hat ...

Naja, oder man schreibt



Denn ob da nun n oder n+1 steht, ist tatsächlich völlig Banane.
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