Maßtheorie: Majorantenkriterium

27.03.2012, 15:56	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Maßtheorie: Majorantenkriterium Hallo, folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (X,\mathcal A, \mu) \end{eqnarray}$ ein Messraum und $\begin{eqnarray} f\colon X\to\overline{\mathbb{R}} \end{eqnarray}$ messbar. Dann gilt $\begin{eqnarray} f\in L^1(\mu) \end{eqnarray}$ (also integrierbar) $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \int \vert f\vert\mu<\infty \end{eqnarray}$ Beweis: Hinrichtung Es sind $\begin{eqnarray} f^{+}=\max\{f,0\}, f^{-}=-\min\{f,0\} \end{eqnarray}$ also jeweils $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f\in L^1(\mu) \Leftrightarrow \int f^{+}\mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int f^{-}\mu \end{eqnarray}$ endlich sind also $\begin{eqnarray} \vert \int f^{+}\mu \vert<\infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vert \int f^{-}\mu\vert <\infty \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \int f^{+}\mu <\infty, \int f^{-}\mu <\infty \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \int f\mu = \int f^{+}\mu - \int f^{-}\mu <\infty \end{eqnarray}$ dann auch $\begin{eqnarray} \int \vert f \vert \mu <\infty \end{eqnarray}$ Rückrichtung: Es gilt $\begin{eqnarray} \vert f \vert = f^+ + f^- \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^+,f^-:X\to [0,\infty] \end{eqnarray}$ sind nichtnegative abbildungen, d.h. mit Skript gilt Additivität für das $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ -Integral also $\begin{eqnarray} \infty > \int \vert f\vert\mu = \int (f^+ + f^-)\mu = \int f^+\mu + \int f^-\mu \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \int f^+\mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int f^-\mu \end{eqnarray}$ endlich also $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ integrierbar. also wie behauptet Ist das richtig. besonders die Hinrichtung bereitet mir etwas Bauchschmerzen.
28.03.2012, 11:07	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Wirklich niemand?
28.03.2012, 13:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht mir etwas umständlich aus. Die linke Bedingung ist doch äquivalent dazu, dass $\begin{eqnarray} \int f^+d\mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int f^-d\mu \end{eqnarray}$ endlich sind, was wiederum äquivalent dazu ist, dass die Summe der Integrale endlich ist. Und die Summe ist das Integral von \|f\|. Dürfte sofort in beide Richtungen gehen, wenn ich mich nicht irre. mfg, Ché Netzer
29.03.2012, 16:39	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast vollkommen recht! Geht viel einfacher und meine hinrichtung stimmt auch nicht. Falls $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ -integrierbar gilt $\begin{eqnarray} \int f^+\mu, \int f^-\mu <\infty \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \int \vert f\vert \mu = \int (f^+ + f^-)\mu = \int f^+\mu + \inf f^-\mu<\infty \end{eqnarray}$ danke für die hilfe.

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