Integrierbar stetig diffbar |
| 27.03.2012, 16:33 | xumpf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Integrierbar stetig diffbar Hallo zusammen, ich stehe kurz vor meiner Zwischenprüfung in Mathe und habe noch ein paar Vorstellungsprobleme beim Zusammmenhang integrierbar stetig diffbar. Meine Ideen: Also mir ist klar, dass eine Funktion, die integrierbar ist auch stetig und diffbar sein muss, da eine nicht stetige Funktion keine Fläche unter der Funktion hat die berechnet werden kann und eine Funktion, die stetig ist muss nach Definition ebenfalls diffbar sein. Als Gegenbeispiel ist mir noch eingefallen, dass die Betrags- oder die Signumsfunktion Beispiele sind, für eine Funktion, die diffbar ist, aber nicht stetig. Jetzt hakts bei mir, wenn ich Gegenbeispiele suche für Funktionen die diffbar aber nicht integrierbar und stetig und nicht integrierbar sind. Vielleicht kann mir ja jemand helfen, über jede Hilfe freue ich mich sehr. Sonnige Grüße |
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| 27.03.2012, 16:43 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Integrierbar stetig diffbar
Leider falsch. Treppenfunktionen z.B. sind (im allgmeinen) nicht stetig, aber die "integrierbarsten Funktionen überhaupt". (aus denen werden alle anderen Integrale konstruiert) Bei denen besteht die Fläche aus mehreren Rechtecken.
Nein, es ist andersrum. Aber das auch nicht per Definition. Die Betragsfunktion ist ein gutes Gegenbeispiel. Die ist an der Stelle x=0 stetig, aber nicht differenzierbar. Allgemein sind "Knicke" im Graphen ein Anzeichen dafür, dass die Funktion nicht differenzierbar ist. (wenn auch stetig)
Die sind beide nicht differenzierbar (wenn auch nur in einem Punkt). Dafür ist die Betragsfunktion wie gesagt stetig.
Die gibt es auch nicht. Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit und aus Stetigkeit folgt Integrierbarkeit (auch wenn der Begriff integrierbar später anders benutzt wird, wenn die Lebesgue-Integration eingeführt wird): differenzierbar => stetig => integrierbar Die Umkehrung gilt allerdings nicht immer. Die von dir genannte Signum-Funktion ist integrierbar (bzw. ist eine Regelfunktion), ist aber unstetig im Nullpunkt. Die Betragsfunktion ist stetig, aber nicht differenzierbar im Nullpunkt. (Dann gäbe es noch die Eigenschaft "stetig differenzierbar", die ist noch stärker als Differenzierbarkeit, aber das nur am Rande) mfg, Ché Netzer |
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| 27.03.2012, 16:54 | xumpf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Integrierbar stetig diffbar Danke für die schnelle Antwort 
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| 27.03.2012, 17:04 | xumpf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Integrierbar stetig diffbar Ich habe mir das ganze jetzt allerding nochmal durch den Kopf gehen lassen, du schreibst ja, dass aus einer stetigen Funktion nicht ihre diffbarkeit folgt. Aber eine Funktion die stetig ist muss doch nach Definition einen Grenzwert besitzen. Also wir haben defineirt. f ist stetig, wenn limx->a f(x) existiert und gilt lim x->a f(x)=f(a) |
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| 27.03.2012, 17:11 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Integrierbar stetig diffbar Für die Differenzierbakeit ist aber ein anderer Grenzwert erforderlich: Jetzt sei z.B. f(x)=|x|, also die Betragsfunktion. Die ist stetig, das dürfte bekannt sein. Aber für x=0: Und der Wert dieses Bruches kommt auf das Vorzeichen von h an (entweder 1 oder -1). Daher existiert dieser Grenzwert nicht; man hat ja keine Forderungen an das Vorzeichen von h gestellt. Wenn f nicht stetig wäre, würde f(x+h) nicht gegen f(x) konvergieren und man würde Unendlich (oder minus Unendlich) erhalten. |
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| 27.03.2012, 17:20 | xumpf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Integrierbar stetig diffbar Danke, jetzt hab ichs wirklich verstanden 
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