Teilraum eines Vektorraumes?

Neue Frage »

sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »
Teilraum eines Vektorraumes?
Hallo,

zur Zeit nehme ich die Analytische Geometrie durch. Das Thema ist sehr trocken und ich verstehe eigentlich nur Bahnhof.

Kann mir vielleicht jemand durch ein einfaches Beispiel erklären, was man unter dem Teilraum eines Vektorraumes versteht? verwirrt

Danke schonmal für eure Hilfe!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Tag!

Ganz einfaches Beispiel. Stell dir den IR³ vor und eine Ebene, die durch die Null geht. Das ist dann ein ein Untervektorraum des IR³, der ja selbst ein Vektorraum ist. Oder eine Gerade, die durch die Null geht. Die ist auch ein Untervektorraum.

Neben solchen geoemtrisch vorstellbaren Räumen gibt es noch gaaanz viele andere, die man sich nicht vorstellen kann und die meistens erst im Studium eine Rolle spielen.

Falls du noch Fragen hast, suche dir am besten eine Beispielaufgabe und poste sie hier.

smile
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok,verstanden. Man könnte ja dann auch einen Würfel vorstellen, dessen Raum in kleine Würfel unterteilt ist. Einer dieser kleineren Würfel ist praktisch gesehen dann auch ein Teilraum des Würfels ( Vektorraumes ) ?
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

nein

hast du den begriff des vektorraums verstanden?
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

ein vektorraum ist doch der raum ,in dem der vektor ist. also zum beispiel R^2 oder R^3 oder?
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

wie genau habt ihr den begriff vektor(raum) genau definiert?
 
 
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

Also eine genaue Definition zum auswendig lernen hatten wir nicht.
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich stelle mir unter dem Vektorraum diesen Raum vor, indem sich der Vektor erstreckt.Dieser Vektorraum wird natürlich von den Koordinaten des Vektors (x,y,z) bestimmt.
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
indem sich der Vektor erstreckt

gute Idee... In Deinem Würfel strecken sich die Vektoren durch den Würfel durch (weil er begrenzt ist). Würfel ist kein Vektorraum ...
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe ich nicht ,sry
SusiQuad Auf diesen Beitrag antworten »

In einem Vektorraum muss man beliebig verlängern können ...

Ist ein Besenstiel ein Vektor, dann auch ein Vielfaches. Also können begrenzte Mengen keine -Vektorräume sein. Dein Würfel war begrenzt.

Vektorräume sind Mengen. Umgekehrt gilt nicht allgemein. Tatsächlich sind es Mengen, in denen man rechnen kann (PLUS-machen und Vielfaches-machen). - Und die Neu-Gemachten müssen dann wieder in der Menge enthalten sein.
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

ok,also könnte man den Würfel mechanisch endlos vergrößern, dann wäre es ein Vektorraum über R^3 ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SusiQuadAlso können begrenzte Mengen keine -Vektorräume sein.

Doch, wenn nur eine Null enthalten ist Big Laugh

Und wenn ich schonmal dabei bin:
@sunnymaker: Dein Würfel ist erst dann ein Vektorraum, wenn er ganz ausfüllt, d.h. wenn er unendlich groß ist. (wobei er dann aber kein echter Würfel mehr ist)

Sieh es lieber anders herum: Ein Vektor ist deswegen ein Vektor, weil er in einem Vektorraum liegt. Ein Vektorraum bildet sich nicht dadurch, dass man ein paar Elemente zusammenschüttet, die man als Vektoren bezeichnet; er wird stattdessen durch einige Bedingungen definiert.
Hier die vereinfachte Version:
-"vernünftige" Addition der Elemente (wie man sie kennt)
-Eine Multiplikation der Elemente mit reellen Zahlen ist auch nach bekannten Rechenregeln möglich
Wenn man solch einen Raum hat, heißen dessen Elemente Vektoren.
[Edit: Nur zur Sicherheit; diese "Bedingungen" sind stark vereinfacht dargestellt und eignen sich nicht zum Lernen/Anwenden]

mfg,
Ché Netzer
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

hm ok
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

also ist ein vektorraum ein unendlich großer würfel (über R^3 ) in dem der Vektor mit einem Skalar unendlich mal erweitert werden kann?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ein Vektorraum ist eine Menge, in der eine Addition mit bestimmten Eigenschaften definiert ist und deren Elemente man mit reellen Zahlen multiplizieren kann (ebenfalls mit bestimmten Eigenschaften).

Vektorräume haben mit Würfeln nichts zu tun.
(Allerdings ist ein entsprechender "Würfel" ein Vektorraum)
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

ja das mit dem würfel war nur ein utopisches beispiel für den vektorraum über R^3.
natürlich ist der vektorraum über R^2 kein würfel. aber vom prinzip her habe ich es dann verstanden oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob du es verstanden hast.
Wie wäre es hiermit:
Ich gebe dir mal ein paar Beispielmengen und du sagst mir, ob das Vektorräume sind:

1. Die Gerade im mit x=y=z, d.h. alle Punkte aus , bei denen alle Koordinaten gleich sind.

2. die gleiche Menge wie bei 1., nur um 1 nach oben (in z-Richtung) verschoben, d.h. es gilt x=y=z-1.

3. Die Ebene ohne die x-Achse, d.h. alle Punkte aus , bei denen die y-Koordinate ungleich 0 ist.

Außerdem würde ich "Vektorraum über " vermeiden. Das sind Vektorräume über , d.h. die Skalare sind reelle Zahlen.
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

1. ist einer
2.tendiere ich auch zu einem
3. ist keiner
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

2. ist keiner, der Rest war richtig.

In der verschobenen Gerade fehlt dir nämlich die Null, außerdem ist nicht mehr enthalten, auch keine Summen von Vektoren aus der Geraden (die man trotzdem als Vektoren bezeichnen kann, da sie ja in liegen):

sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

heißt das,dass ein vekrorraum auch immer die 0 enthalten muss?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. (es muss ein Element geben, dass beim Addieren keine "Auswirkungen" hat)
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also besitzt jeder vektorraum eine nullstelle .
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo sunnymaker,
du meinst das richtige, man nennt das aber nicht nullstelle, von nullstellen spricht man bei funktionen,
die bei bestimmten x-werten den wert 0 annehmen. Man sagt also einfach nur null oder nullvektor. smile
gruss ollie3
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke smile

anschließend alles zusammengefasst:

unter einem vektorraum versteht man den endlosen raum, in dem sich ein vektor erstrecken kann.

das mit der null ist mir jetzt gerade klar geworden, eine kraft fängt ja immer beim nullwert ( nullvektor ) an,also braucht man die null .


Jetzt habe ich aber noch eine kleine frage: was ist dann der teilraum?
Ich gehe davon aus,dass der teilraum einfach ein bestimmter teil des endlosen raumes ist.bin ich da richtig?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz gefällt mir die Erklärung noch nicht...

Aber das mit den Kräften ist gut: Nimm dir drei Kräfte, eine zeigt in x-Richtung, eine in y-Richtung und eine in z-Richtung. Dann ist der davon erzeugte Vektorraum die Menge aller Kräfte, die durch Überlagerung oder Vervielfachung dieser Kräfte entstehen können (und das entspricht dann dem ).
Ein Teilraum ist dann ein Vektorraum, der erzeugt wird, indem man beliebige Kräfte aus diesem Vektorraum auswählt, z.B. nur die ersten beiden; in x- und y-Richtung, und die dann beliebig streckt oder addiert.
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

ok,also gibt es einen vektorraum nur über R^3 ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein, nein, das war nur ein Beispiel.
Du kannst auch die Vektoren wählen, die erzeugen auch einen Vektorraum.

Oder auch oder .

Und wenn du alle stetigen Funktionen (von nach ) in eine Menge tust, hast du auch einen Vektorraum.

Aber , dessen Unterräume und sind in der Schule die wichtigsten.
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

sry hab mich oben verschrieben Hammer

ich wollte ausdrücken, dass es ja dann nur über R^3 unterräume geben kann.

aber vielen dank für deine tolle hilfe, jetzt ist es mir schon viel klarer Wink
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es gibt auch Unterräume von (z.B.) ; jede Gerade, die durch den Ursprung geht.
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist jede Gerade ,die durch den Punkt (0;0) geht ein Teilraum von R^2 ?
Aber das ist doch geometrisch gesehen kein Raum,oder hat das damit nichts zu tun?
Venus² Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jede Gerade, die durch (0;0) ist ein Teilraum von R^2.

Unter einem mathematischen Raum kannst du dir eine Verallgemeinerung des 3-dimensionalen Raums, wie du ihn kennst, vorstellen.
Anders ausgedrückt: Der 3-dimensionale Raum ist ein Spezialfall eines Vektorraums.

Eine Ebene im R^3, die durch (0;0) verläuft, ist z.B. auch kein 3-dimensionaler Raum und trotzdem ein Teilraum.
sunnymaker Auf diesen Beitrag antworten »

ok so langsam kapiere ich es, danke Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »