Trigonometrische Gleichungen 4

27.03.2012, 17:47

Jorg

Trigonometrische Gleichungen 4

Bestimmen Sie im Intervall $\begin{eqnarray*} 0°\leq \alpha \leq 180° \end{eqnarray*}$ die Lösungen der Gleichungen:
Meine Aufgabe1:
$\begin{eqnarray*} tan(\alpha -10°)+tan\alpha =0 \end{eqnarray*}$
Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} 2tan\alpha=tan10° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} tan\alpha=\frac{tan10°}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha=5° \end{eqnarray*}$

Meine Aufgabe2:
$\begin{eqnarray*} tan\frac{\alpha}{2} -2*sin\alpha =0 \end{eqnarray*}$
Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} \frac{ sin\alpha }{1+cos\alpha} -2*sin\alpha =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin\alpha -2*sin\alpha(1+cos\alpha) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin\alpha-2*sin\alpha+2sin\alpha *cos\alpha =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin\alpha(-1+2cos\alpha) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin\alpha =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha =0 °; \alpha =180° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1+2cos\alpha =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos\alpha =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha =60° \end{eqnarray*}$
Kann mir bitte jemand sagen ob es richtig ist was ich gerechnet habe Gott

Danke im voraus

27.03.2012, 18:53

Christian_P

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Ich habe mal y=tan(x-0.17453) und y=-tan(x) geplottet.

Zwischen 0°=0 rad und 180°=pi ist ein Schnittpunkt, aber leider nicht bei 60°= 1.04720 rad.

Viele Grüße

27.03.2012, 19:09

Jorg

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Sorry aber ich komme gerade nicht drauf was du meinst? unglücklich

Ich denke deine Hilfe gehört zu meiner 1 Aufgabe. Bei der ist aber meine Lösung $\begin{eqnarray*} \alpha=5° \end{eqnarray*}$ .

27.03.2012, 19:28

Christian_P

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Oh sorry, ja 5° stimmt auf jeden Fall für die erste Aufgabe, hab mich verguckt! smile

Die zweite Gleichung müsste bei approx 2.1 rad liegen.

Sorry für das Versehen.

27.03.2012, 19:38

Jorg

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kein Problem. smile

Stimmt bei der ersten Aufgabe nur 5° oder auch 95° weil in meinem Buch habe ich beides als Lösung??
Bei der 2 Aufgabe habe ich $\begin{eqnarray*} \alpha =0 °; \alpha =180° \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha =60° \end{eqnarray*}$ raus. Simmt das?? zu deinem Bild und den 2.1 rad passen ja aber mehr die Lösungen $\begin{eqnarray*} \alpha =0;\alpha =120 \end{eqnarray*}$ oder???

27.03.2012, 20:14

Christian_P

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zur 1.) Gleichung:

Bei

$\begin{eqnarray*} \alpha \approx 1.6580627893946=95^\circ \end{eqnarray*}$

ist tatsächlich noch eine Lösung, siehe Schnittpunkt der beiden Kruven. Dies war vorher (oben) nicht zu sehen.

Für die zweite Gleichung sinds: 0° und 120° im vorgegebenen Intervall.

Jetzt müsste man nur noch gucken, woran es gelegen hat, dass du nicht alle Lösungen gefunden hast bzw. warum die zweite Aufgabe falsch gelöst ist. Ich kann da im Moment nicht so gut weiterhelfen. Wenn ein anderen übernehmen möchte, gern. Ich muss mir das mal länger angucken.

27.03.2012, 20:18

Jorg

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Vielen Dank für deine Hilfe Freude

Wäre aber nett wenn mir jemand Helfen könnte meine fehler zu finden. Lehrer

28.03.2012, 02:27

Mathe-Maus

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RE: Trigonometrische Gleichungen 4

Zitat:

Original von Jorg
Bestimmen Sie im Intervall $\begin{eqnarray*} 0°\leq \alpha \leq 180° \end{eqnarray*}$ die Lösungen der Gleichungen:
Meine Aufgabe1:
$\begin{eqnarray*} tan(\alpha -10°)+tan\alpha =0 \end{eqnarray*}$

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} 2tan\alpha=tan10° \end{eqnarray*}$

Leider falsch.
$\begin{eqnarray*} 2tan\alpha=tan10° \end{eqnarray*}$

Laut Formelsammlung:
$\begin{eqnarray*} {tan (\alpha -\beta )}= \frac{tan \alpha - tan \beta }{1+tan \alpha \cdot tan\beta } \end{eqnarray*}$

Das heisst:
$\begin{eqnarray*} {tan (\alpha -10° )}+tan\alpha=<br /> <br /> \frac{tan \alpha - tan 10° }{1+tan \alpha \cdot tan10° }+tan\alpha =0 \end{eqnarray*}$

Weitere Vorgehensweise:

1) Multipliziere mit dem Nenner
2) Zur Vereinfachung setze $\begin{eqnarray*} tan 10°=c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} tan \alpha=x \end{eqnarray*}$
3) Du erhälst eine quadratische Gleichung, die Du mit der pq-Formel auflösen kannst.

x1 = -0,0883, damit Alpha1=5°
x2 = -11,4309 , damit Alpha2 = -85° (ausserhalb des gesuchten Intervalls !)

Fazit: Alle 90° wiederholt sich die Nullstelle.

Das Ergebnis noch ordentlich verpackt (so wie man die Nullstellenwiederholung bei den Winkelfunktionen angibt) und Deine Antwort ist perfekt.

LG Mathe-Maus Wink

28.03.2012, 12:40

Jorg

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RE: Trigonometrische Gleichungen 4
Danke für deine Hilfe. Freude

Komme auch auf $\begin{eqnarray*} \alpha1 =5°und \alpha 2= -85° \end{eqnarray*}$ .
Das -85° nicht im Intervall ist habe ich auch kapiert .
Wie du auf das: Fazit: Alle 90° wiederholt sich die Nullstelle. kommst kann ich nur erahnen indem ich sage von 5° bis -85° sind es 90° und wenn ich das weiter mache sprich immer wieder zu meinen Lösungen dazu rechne dann komme ich auch auf meine zweite im Intervall liegende Lösung von alpha=95°.
Ich komme aber nicht auf eine Regel oder einen Leitsatz wie ich das bei allen Aufgaben anwenden kann. Bei meiner 2 Aufgabe weiß ich schon nicht mehr weiter und hoffe mir kann jemand helfen.

28.03.2012, 14:01

mYthos

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RE: Trigonometrische Gleichungen 4

Zitat:

Original von Jorg
...
Meine Aufgabe2:
$\begin{eqnarray*} tan\frac{\alpha}{2} -2*sin\alpha =0 \end{eqnarray*}$
Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} \frac{ sin\alpha }{1+cos\alpha} -2*sin\alpha =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin\alpha -2*sin\alpha(1+cos\alpha) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin\alpha-2*sin\alpha+2sin\alpha *cos\alpha =0 \end{eqnarray*}$
...

VORZEICHENFEHLER! Was passiert, wenn ein MINUS vor der Klammer steht?

mY+

28.03.2012, 14:44

Jorg

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RE: Trigonometrische Gleichungen 4
Ups. Dann wird klar wieso die Lösung alpha=120° stimmt und nicht alpha=60°
Also habe ich $\begin{eqnarray*} \alpha =0;\alpha =120 \end{eqnarray*}$ als Lösungen. Die alpha=180° gehören ja nicht zu meinen Lösungen.
Kann ich dann auch so ein Fazit wie Mathe-Maus bilden und sagen die Nullstelle wiederholt sich also jede 120°. Aber in meinem Intervall sind nur die oben aufgeführten Lösungen richtig?

29.03.2012, 15:06

mYthos

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RE: Trigonometrische Gleichungen 4
Selbstverständlich ist - wegen sin(x) = 0 - auch 180° eine Lösung dieser Gleichung (!)
EDIT: Das stimmt aus den im nächsten Beitrag angegeben Gründen doch NICHT!

Zitat:

Original von Jorg
...
Kann ich dann ... sagen die Nullstelle wiederholt sich also jede 120°. ...

Nein, nicht von vornherein*. Innerhalb der ersten 4 Quadranten gibt es - wegen

$\begin{eqnarray*} \cos x = -\frac 1 2 \end{eqnarray*}$
-
nur die Lösungen 120° und 240° (2. und 3. Quadrant). Erst von jeder dieser beiden ausgehend können ganzzahlige Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ addiert werden.

________________

(*)
Anmerkung: Wegen der anderen Teile der Lösung x = 0, (180°), 360° kann man (zufällig!) einen Teil der Gesamtheit der Lösungen dann doch so angeben, dass sie sich alle 120° wiederholen:

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0 + k \cdot \frac {2 \pi} 3 \ \ k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

EDIT: 2. nicht zutreffenden Lösung entfernt.

mY+

29.03.2012, 15:40

Jorg

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RE: Trigonometrische Gleichungen 4
Also ist in meinem Buch wieder ein fehler wenn alpha=180° auch zu den Lösungen gehört wie ich es anfangs auch angenommen hatte.
In meinem Intervall sind also $\begin{eqnarray*} \alpha =0 °; \alpha =180° \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha =120° \end{eqnarray*}$ die Lösungen oder?
Danke für deine Hilfe Freude

29.03.2012, 17:00

mYthos

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Jetzt habe ich mir die Angabe ganz am Anfang genauer angesehen!
Dazu ist zu sagen, dass 180° KEINE Lösung der ursprünglich gegebenen Gleichung ist, weil der Tangens von 90° nicht definiert ist.
Jedoch NACH der Umformung - Multiplikation mit dem Nenner (1+cos x) - würde x = 180° die dabei entstehende Gleichung auch erfüllen. Die Lösung ist jedoch eine Scheinlösung. Der Grund: Der Nenner 1+cos x muss ungleich Null sein.

Was haben wir daraus gelernt? Jede Lösung ist in die ursprüngliche Angabe einzusetzen und auf Richtigkeit zu überprüfen.

Somit hat das Buch Recht, 180° ist auszuschließen. Sorry, da hatte ich jetzt nicht aufgepasst.

mY+

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