Umkehraufgaben

27.03.2012, 18:53

megusta33

Umkehraufgaben

Hallo zusammen,

ich hab hier mal ein Bsp zu Umkehraufgaben:

Von einem Graphen einer Polynomfunktion 4. Grades sind folgende Eigenschaften bekannt. Wie lautet die Funktionsgleichung?

b) Der Graph verläuft symmetrisch zu y-Achse und besitzt 0 und 2 als Schnittstellen mit der x-Achse. P(4/12) ist ein Punkt des Graphen.

Soweit bin ich gekommen:

I: 12=256a + 64b + 16c +4d +e
II: 0=e
III: 0=16a + 8b + 4c + 2d

Naja ich hab aber 4 Unbekannt und nur 3 Gleichungen, wo bekomme ich die 4. her?

mfg Megusta

27.03.2012, 19:01

lgrizu

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RE: Umkehraufgaben

Zitat:

Original von megusta33

Der Graph verläuft symmetrisch zu y-Achse

[quote]Original von megusta33
Soweit bin ich gekommen:

I: 12=256a + 64b + 16c +4d +e
II: 0=e
III: 0=16a + 8b + 4c + 2d

Naja ich hab aber 4 Unbekannt und nur 3 Gleichungen, wo bekomme ich die 4. her?

mfg Megusta

Falsch, du hast hier 5 Unbekannte und nur drei Gleichungen, mehr Gleichungen werden es auch nicht, mehr braucht man aber auch nicht, wenn man folgendes umsetzt:

Zitat:

Original von megusta33

Der Graph verläuft symmetrisch zu y-Achse

Dann kann man das von vornherein auf drei Unbekannte reduzieren...

28.03.2012, 19:13

megusta33

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Symetrisch zur y-Achse heißt ja das die kurve in minus bereich auch gilt... d.h. alle gegebenen Punkte sind auch im lionks von der y-aches gegeben?

also habe ich im prinzip 6 gleichungen?

28.03.2012, 20:00

Dani_ela

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Hallo,

eine Funktion 4. Grades sieht im Allgemeinen so aus: $\begin{eqnarray*} y=a\cdot x^{4} +b\cdot x^{3} +c\cdot x^{2} +d\cdot x+e \end{eqnarray*}$

Da die Funktion in deinem Fall symmetrisch zur y-Achse sein soll, sieht sie so aus: $\begin{eqnarray*} y=a\cdot x^{4} +c\cdot x^{2} +e \end{eqnarray*}$

(man lässt die "ungeraden Hochzahlen" weg)

Kommst du nun weiter?

28.03.2012, 20:05

lgrizu

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Zitat:

Original von megusta33
Symetrisch zur y-Achse heißt ja das die kurve in minus bereich auch gilt... d.h. alle gegebenen Punkte sind auch im lionks von der y-aches gegeben?

also habe ich im prinzip 6 gleichungen?

Das kannst du natürlich auch machen, eine Nullstelle ist bei x=2, da die Funktion symmetrisch ist, muss sich auch eine bei x=-2 befinden.

Der Punkt (4/12) liegt auf dem Graphen und aus Symmetrie folgt, dass der Punkt (-4/12) auch auf dem Graphen liegen muss.

Damit erhälst du 5 Gleichungen.

Da aber für die Symmetrie zur y-Achse gilt:

Für jede Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x_0)=f(-x_0) \end{eqnarray*}$ , kann man recht einfach sehen, dass die Funktion dann so ausschaut, wie sie von Daniela vorgegeben ist. Für ungerade Potenzen (also ungerade k) ist $\begin{eqnarray*} (-x_0)^k=-x_0^k \end{eqnarray*}$ , also fallen diese bei der Symmetrie weg.

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