Untere Schranke einer Menge

27.03.2012, 23:21

Tintenfisch007

Untere Schranke einer Menge

$\begin{eqnarray*} C:=\{x\in \mathbb R: x^{2}-2x<3\} \end{eqnarray*}$

Man soll nun die Untere, bzw. Obere Schranke bestimmen.

Den Weg dahin aufzuschreiben spar ich mir jetz mal, ich habe raus.

$\begin{eqnarray*} x\in (-1,3) \end{eqnarray*}$

Nun sehe ich ja schon, dass Inf C=-1 und Sup C=3 sein wird. Minimum und Maximum wird es nicht geben.

So nun sollten wir das ganze durch einen wiederspruch beweisen.

Ich habe also angenommen, es gibt eine kleiner untere Schranke a>-1

Also ist a+1>0.

Also ist a-a+1=1

Aber eins liegt in der Menge, außerdem gilt ja a>a-a+1=1.
Also wäre dies ein Wiederspruch, da es durchaus Elemente der Menge gibt, die kleiner als a sind, aber in der Menge liegen. Also wäre a kein Infimum, geschweige denn eine Untere Schranke.

Doch irgendwie sieht mir das ganze etwas trivial, und nicht wirklich elegant aus.
Kann man das so machen ?
Wenn nein warum nicht ?
Wenn ja warum xD (ne wa spaß).

Vielen dank

Mfg. euer Tintenfisch smile

27.03.2012, 23:34

Che Netzer

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RE: Untere Schranke einer Menge
Sollt ihr mit dem Widerspruch (ohne e!) beweisen, dass es keine größere untere Schranke gibt oder dass es kein Maximum gibt?

Zu deiner Rechnung:

Zitat:

Aber eins liegt in der Menge, außerdem gilt ja a>a-a+1=1.

Die Zeile ergibt für mich keinen Sinn. Wieso soll a>a-a+1 sein?
Und wieso ist es ein Widerspruch, wenn 1 in der Menge liegt?

Zeige doch, dass es ein c mit -1<c<a gibt, das in der Menge enthalten ist.

Oder besser: Dass -1+1/n für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ in C liegt.

mfg,
Ché Netzer

28.03.2012, 01:36

Tintenfisch007

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Zitat:

Sollt ihr mit dem Widerspruch (ohne e!) beweisen, dass es keine größere untere Schranke gibt oder dass es kein Maximum gibt?

Ja bzw. wurde uns gesagt, dass man das ganze mit einem Widerspruch beweisen kann.

Zitat:

Die Zeile ergibt für mich keinen Sinn. Wieso soll a>a-a+1 sein?

Naja ich bin ja so vorgegangen. Angenommen es gibt eine andere größte untere Schranke
von C, welche ich mal a nenne.

Dann gilt doch:

$\begin{eqnarray*} a>-1 \end{eqnarray*}$ Denn wir haben ja bereits das halb offene Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,3) \end{eqnarray*}$ , woraus die Vermutung entsteht $\begin{eqnarray*} -1:=Inf C \end{eqnarray*}$

Und

$\begin{eqnarray*} a>-1 \end{eqnarray*}$ ist Äquivalent zu:

$\begin{eqnarray*} a+1>0 \end{eqnarray*}$

Ich habe mich vertan, aber ich kann ja $\begin{eqnarray*} \frac{a+1}{2} \end{eqnarray*}$
nehmen dann passt das.

Wenn ich nun meine Schranke $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nehme und ebend $\begin{eqnarray*} \frac{a+1}{2} \end{eqnarray*}$ abziehe, erhalte ich dass:

$\begin{eqnarray*} a-\frac{a+1}{2} \end{eqnarray*}$ (Im folgenden sind die $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ durchaus als Äquivalenzen, ich weiss nur nicht wie das geht ^^)

$\begin{eqnarray*} a-\frac{a+1}{2} \Rightarrow a-\frac{a}{2}+\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{a}{2}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} > -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} a>a-\frac{a+1}{2} \end{eqnarray*}$ den wir ziehen etwas von a ab.

Außerdem gilt, $\begin{eqnarray*} a-\frac{a+1}{2} > -1 \end{eqnarray*}$

Somit gilt $\begin{eqnarray*} a-\frac{a+1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in (-1,3) \end{eqnarray*}$

Das ist aber ein Widerspruch dazu, dass a eine Untere Schranke ist. Denn wenn ich etwas von a abziehe, dann liegt das immernoch in der Menge.
So hatte ich mir das gedacht, nur das ich zuvor zuviel abgezogen habe.

Zitat:

Zeige doch, dass es ein c mit -1<c<a gibt, das in der Menge enthalten ist.

Genau das habe ich doch damit gemacht.

Zitat:

Oder besser: Dass -1+1/n für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ in C liegt.

Hm, das wäre meinem sehr änlich. Aber wie genau soll ich das machen

Also für alle Epsilon>0, gibt es ein n0 mit 1/n<Epsilon.

Also wird das ganze beliebig klein.(oder man sagt, 0<1/n<=1)

Somit gilt -1+1/n>-1, und somit ein Element von (-1,3).
Oder wie würdest du das ganze aufschreiben ?

dann könnte man ja auch direkt sagen, dass -1+e>-1 und somit im Intervall liegt. | e:= Epsilon>0
Die ganze Sache ist natürlich eigentlich eine Triviale angelegenheit, nur bin ich mir unsicher ob man das so machen darf.

Wie würdest du das denn mit deinem Vorschlag hinschreiben ?

Vielen dank schonmal smile

28.03.2012, 09:20

Che Netzer

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Du sollst doch überhaupt erst zeigen, dass C=(-1,3).
Ansonsten könntest du das ganze etwas abkürzen: Aus a>-1 (und a<3) folgt sofort, dass $\begin{eqnarray*} a\in(-1,3) \end{eqnarray*}$ .

Mein Vorschlag: Zeige, dass -1+1/n die Bedingung erfüllt, um in C zu liegen. (für alle n)
Damit kannst du zeigen, dass es keine größere untere Schranke gibt: Zu jedem a>-1 gibt es ein n, so dass -1<-1+1/n<a.

Deine Umformungen ergeben für mich jedenfalls keinen Sinn. (Und das, was Äquivalenzpfeile sein sollen, sollten eher Gleichheitszeichen sein und eine Klammer fehlt auch)

28.03.2012, 15:15

Tintenfisch007

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Zitat:

Du sollst doch überhaupt erst zeigen, dass C=(-1,3).

Also das Intervall habe ich bereits berechnet, nur hier nicht hingeschrieben.
Siehe:

Zitat:

Den Weg dahin aufzuschreiben spar ich mir jetz mal, ich habe raus. $\begin{eqnarray*} x\in (-1,3) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ansonsten könntest du das ganze etwas abkürzen: Aus a>-1 (und a<3) folgt sofort, dass $\begin{eqnarray*} a\in(-1,3) \end{eqnarray*}$ .

Das wäre aber nicht ausreichend. Denn -1 und 3 gehören ja nicht zum intervall dazu. Also könnte es ja durchaus ein Infimum=Minimum geben. Und das dies nicht sein kann, muss ja gezeigt werden.
Ich muss also zeigen das a>-1 keine untere Schranke sein kann. Dafür muss ich wie ich bereits berechnet haben, zeigen dass es dann noch kleiner Elemente als a gibt, die ebend in der Menge liegen.

Erst das bildet überhaupt eine agumentative grundlage. Denn das -1 ein Infimum ist, ist erstmal nichts anderes als eine bloße bahuptung.

Zitat:

Mein Vorschlag: Zeige, dass -1+1/n die Bedingung erfüllt, um in C zu liegen. (für alle n) Damit kannst du zeigen, dass es keine größere untere Schranke gibt: Zu jedem a>-1 gibt es ein n, so dass -1<-1+1/n<a.

Das ist argumentativ genau das selbe wie ich oben gemacht habe.

Zitat:

Deine Umformungen ergeben für mich jedenfalls keinen Sinn.

Doch das tun sie auf jedenfall smile

Zitat:

Und das, was Äquivalenzpfeile sein sollen, sollten eher Gleichheitszeichen sein und eine Klammer fehlt auch)

Da hast du jedenfalls recht. Das passiert wenn man wenn man sich nicht richtig mit der Latex schreibweise auskennt, und alles per copie and paste macht. Sorry dafür.

Ich benutze einfach mal meinen Lösungsweg. Den dieser untscheidet sich nicht wirklich von deinem.
Schau ihn dir nochmal genau an, und versuche ihn nachzuvollziehen (wenn du da keine lust zu hast, dann kannst du das natürlich auch lassen).

Ich werde dann mal schreiben ob es denn richtig war. Wink

28.03.2012, 15:26

Che Netzer

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Zitat:

Original von Tintenfisch007
Erst das bildet überhaupt eine agumentative grundlage. Denn das -1 ein Infimum ist, ist erstmal nichts anderes als eine bloße bahuptung.

Es ist auch nur eine Behauptung, dass C=(-1,3). Soweit ich es verstanden habe, soll man DAS zeigen.

Du hast gezeigt, dass es keine größere untere Schranke als -1 für (-1,3) gibt, aber nicht, dass das auch für C gilt.

Zu $\begin{eqnarray*} a>a-\frac{a+1}2 \end{eqnarray*}$ :
Das liegt hier nur daran, dass a>-1; im allgemeinen kann man das nicht behaupten.

28.03.2012, 21:17

Tintenfisch 007

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Zitat:

Es ist auch nur eine Behauptung, dass C=(-1,3). Soweit ich es verstanden habe, soll man DAS zeigen.

Also man sollte das Infimum und Supremum der Menge:

$\begin{eqnarray*} C:=\{x\in \mathbb R: x^{2}-2x<3\} \end{eqnarray*}$

bestimmen.

Dafür muss man natürlich erstmal die Gleichung lösen. Dies habe ich gemacht und das halb offene Intervall $\begin{eqnarray*} x\in (-1,3) \end{eqnarray*}$ erhalten. Für diese Werte gilt also die Ungleichung.
Da wir ein Intervall haben, können wir ja ablesen, das Inf C=-1 sein muss.

Das muss man natürlich auch noch beweisen was ich dann so versucht habe:

Vermutung Inf C=-1

Angenommen es gibt eine größere Untere Schranke a, dann müsste gelten a>-1

Da $\begin{eqnarray*} \frac{a+1}{2}>0 \end{eqnarray*}$

Des weiteren gilt also

$\begin{eqnarray*} a-\frac{a+1}{2} = a-(\frac{a}{2}+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{a}{2}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} > -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1 \end{eqnarray*}$

Somit gilt also $\begin{eqnarray*} a> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a-\frac{a+1}{2} > -1 \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} a-\frac{a+1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in (-1,3) \end{eqnarray*}$ und deswegen kann unser selbst gewähltes a>-1 keine untere Schranke sein.

28.03.2012, 21:32

Che Netzer

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Zitat:

Original von Tintenfisch 007
Also man sollte das Infimum und Supremum der Menge:

$\begin{eqnarray*} C:=\{x\in \mathbb R: x^{2}-2x<3\} \end{eqnarray*}$

bestimmen.

Dafür muss man natürlich erstmal die Gleichung lösen. Dies habe ich gemacht und das halb offene Intervall $\begin{eqnarray*} x\in (-1,3) \end{eqnarray*}$ erhalten. Für diese Werte gilt also die Ungleichung.

Ja, und genau das würde ich beweisen wollen.
Mit C=(-1,3) sagst du doch schon, dass -1 das Infimum der Menge C ist.

28.03.2012, 21:38

Tintenfisch 007

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Zitat:

Ja, und genau das würde ich beweisen wollen. Mit C=(-1,3) sagst du doch schon, dass -1 das Infimum der Menge C ist.

Im Prinzip schon. Hätten wir ein Kompaktes Intervall [-1,3]. Dann könnten wir natürlich direkt sagen, das Inf C=Min C= -1 der Menge ist.

Aber wenn es nicht zur Menge gehört, muss man halt immer Zeigen das es kein anderes Infimum geben kann.

Falls du das nun meintes. Ansonsten muss du mir genauer sagen was du beweisen würdest verwirrt

28.03.2012, 21:44

Che Netzer

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Ich meine folgendes:
Du sagst, C=(-1,3).
Aber wieso? Hast du einen Beweis dazu?

28.03.2012, 21:50

Tintenfisch 007

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Also wenn man die Aufgabe ganz hinschreiben will:

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} C:=\{x\in \mathbb R: x^{2}-2x<3\} \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie das Infimum, Minimum, Supremum oder Maximum der Menge.

$\begin{eqnarray*} x^{2}-2x<3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} {(x-1)^2}<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |x-1|<2 \end{eqnarray*}$

1.Fall

$\begin{eqnarray*} x\geq -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<3 \end{eqnarray*}$

2.Fall

$\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(x-1)<2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ x>-1

Damit erhalten wir, dass $\begin{eqnarray*} x\in (-1,3) \end{eqnarray*}$

Und jetz folgt halt sofort die Vermutung Inf=-1

Angenommen es gibt eine größere Untere Schranke a, dann müsste gelten a>-1

Da:

$\begin{eqnarray*} \frac{a+1}{2}>0 \end{eqnarray*}$

Des weiteren gilt also

$\begin{eqnarray*} a-\frac{a+1}{2} = a-(\frac{a}{2}+\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{a}{2}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} > -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1 \end{eqnarray*}$

Somit gilt also $\begin{eqnarray*} a> \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a-\frac{a+1}{2} > -1 \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} a-\frac{a+1}{2} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in (-1,3) \end{eqnarray*}$ und deswegen kann unser selbst

gewähltes a>-1 keine untere Schranke sein.

Nur um dir nochmal klar zu machen, was ich denn alles gemacht habe.

28.03.2012, 22:05

Che Netzer

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Dann bin ich jetzt dran:
$\begin{eqnarray*} C:=\{x\in\mathbb R:x^2-2x<3\} \end{eqnarray*}$

Offenbar ist -1 nicht enthalten, da $\begin{eqnarray*} (-1)^2-2\cdot(-1)=3\not<3 \end{eqnarray*}$ . (für a<-1 ist a²-2a>1²+2=3)

Aber $\begin{eqnarray*} (-1+\tfrac1n)^2-2(-1+\tfrac1n)=1-\frac2n+\frac1{n^2}+2-\frac2n=3+\frac1{n^2}-\frac4n=3+\frac{1-4n}{n^2}<3\Rightarrow -1+\frac1n\in C \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \frac{1-4n}{n^2}<0 \end{eqnarray*}$ für alle n>0.

Also gibt es keine größere untere Schranke als -1 (wähle sonst n so, dass -1+1/n kleiner als diese Schranke ist; möglich, da $\begin{eqnarray*} -1+\frac1n\to-1 \end{eqnarray*}$ ).

Das Supremum habe ich jetzt wie du weggelassen.

28.03.2012, 22:23

Tintenfisch 007

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Zitat:

Offenbar ist -1 nicht enthalten, da $\begin{eqnarray*} (-1)^2-2\cdot(-1)=3\not<3 \end{eqnarray*}$

Genau, dass folgt aber auch schon aus meiner Fallunterscheidung.
Deswegen ja auch das Offene Intervall.

Zitat:

Aber $\begin{eqnarray*} (-1+\tfrac1n)^2-2(-1+\tfrac1n)=1-\frac2n+\frac1{n^2}+2-\frac2n=3+\frac1{n^2}-\frac4n=3+\frac{1-4n}{n^2}<3\Rightarrow -1+\frac1n\in C \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \frac{1-4n}{n^2}<0 \end{eqnarray*}$ für alle n>0.

Kann ich nachvollziehen, und würde denke ich mal auch punkte geben. Es ist ja im Prinzip genau das was ich auch gemacht habe.

Zitat:

Also gibt es keine größere untere Schranke als -1 (wähle sonst n so, dass -1+1/n kleiner als diese Schranke ist; möglich, da $\begin{eqnarray*} -1+\frac1n\to-1 \end{eqnarray*}$ ).

Gut da hätte ich jetz eher mit dem Satz von Eudoxos argumentiert. Es bleibt aber im Prinzip die selbe Aussage.

Ich habe ja auch nie behauptet das deine Aussage falsch sei.
Nur stimmt meine im Prinzip (es verfolgt die selbe Idee, viel anderes bleibt ja auch nicht) mit dem hier überein.
Und müsste eben so richtig sein.

Zitat:

Das Supremum habe ich jetzt wie du weggelassen.

Jup, das ist ja sowieso analog zum Infimum.

Mfg. Tintenfisch smile

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