Problem mit Berechnung der Nullstellen

28.03.2012, 00:36	curey	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Berechnung der Nullstellen Ich bin auf ein Kurvendiskussions Beispiel gekommen das mir Probleme macht. Ich schaff es nicht mal die Nullstellen zu berechnen. Die Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{16} (x^{4} -24x^{2} +128) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{16} (4x^{3} -48x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{1}{16} (12x^{2} -48) \end{eqnarray}$ Lösung(sbuch): N1 (-4/0) N2 (4/0) N3 (- Wurzel aus 8/0) N4 (+ Wurzel aus 8/0) H (0/8) T1 (+ Wurzel aus 12/-1) T2 (- Wurzel aus 12/-1) W1 (2/3) W2 (-2/3) Mein Versuch an Nullstellen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{16} (x^{4} -24x^{2} +128)=0 \end{eqnarray}$ mal 16 $\begin{eqnarray} (x^{4} -24x^{2} +128)=0 \end{eqnarray}$ Dann die pq Formel einsetzen. p = -24, q = +128 Da krieg ich für x1=16 raus und für x2=8, was aber falsch is Auszug von meiner pq Formel: $\begin{eqnarray} 12 \pm \sqrt{144-128} \end{eqnarray}$ Das beste is ja, es sollen 4 Nullstellen rauskommen. Ich schaff nur 2 und selbst die sind falsch Lg PS: Ich kenne bis jetzt nur die pq bzw. abc Formel und das Herausheben vom x für die Berechnung der x Stellen. Gibt es denn da noch andere Möglichkeiten?
28.03.2012, 00:48	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit Berechnung der Nullstellen Die pq-Formel ist für quadratische Gleichungen gedacht - deine ist vom Grad 4 (biquadratisch in deinem Fall). Beheben kannst du das, wenn du zunächst x²=z substituierst. Dadurch erhälst du eine quadratische Gleichung in z, die kannst du dann auch mit der pq-Formel lösen. Danach rücksubstituieren (also für z wieder x² einsetzen). Eine Alternative (die ich schöner finde, aber das mag Ansichtssache sein) ist es, zu faktorisieren. Dazu brauchst du nur binomische Formeln. Die 1/16 lass ich erstmal weg: $\begin{eqnarray} x^4-24x^2+128=x^4-24x^2+144-16 = (x^2-12)^2-16 = (x^2-16) \cdot (x^2-8) = ... \end{eqnarray}$ Ein Produkt wird ja genau dann null, wenn einer der Faktoren null wird. Die Suche nach den Nullstellen wird nun also ganz leicht. Die letzten paar Schritte überlasse ich dir.
28.03.2012, 00:48	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit Berechnung der Nullstellen Ersetze (=substituiere) $\begin{eqnarray} u=x^{2} \end{eqnarray}$ LG Mathe-Maus
28.03.2012, 00:52	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit Berechnung der Nullstellen $\begin{eqnarray} 0= x^4-24x^2+128 = (x^2 -12)^2 ~-16 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iff (x^2 -12)^2 = 16 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iff (x^2 -12) = \pm 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iff x^2 = 12 \pm 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \iff x^2 = 16 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x^2 = 8 \end{eqnarray}$ usw... D.h. Du hast bei $\begin{eqnarray} 12 \pm \sqrt{16} \end{eqnarray}$ die Nullstellen von $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ Musst Du also nochmal wurzeln
28.03.2012, 01:00	curey	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure schnellen und hilfreichen Antworten, wieder mal was dazugelernt

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