Kettenregel erkennen und anwenden

28.03.2012, 06:58

Redwood

Kettenregel erkennen und anwenden

Hallo
Ich habe folgendes Problem.
Die Aufgabe $\begin{eqnarray*} f(x)=((1+x)/(x))^n \end{eqnarray*}$ soll nach x abgeleitet werden. So habe ich die Aufgabe gemacht

$\begin{eqnarray*} ((1+x)/(x))^n <=> ((1+x)*(x^{-1}))^n <=> ((x^{-1}+1)^n u(x)=x^{-1}+1 <=> u'(x)= -1x^{-2} F(u)=(u)^{n} <=> F'(u)= nu^{n-1} => n(x^{-1}+1)^{n-1} f'(x)=n(x^{-1}+1)^{n-1} * -1x^{-2} <=> - ((n(({1/x})+1)^n-1/(x^2) \end{eqnarray*}$

Ich schätze mal das das Ergebnis nicht richtig ist Augenzwinkern

Dann habe ich noch eine Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)= 4^{xlnx} \end{eqnarray*}$

Wie erkenne ich die einzelnen Funktionen ? Ist hier
$\begin{eqnarray*} u(x)=4^x F(u) =u^{lnx} \end{eqnarray*}$
richtig ?
Wie soll ich dann F(u) ableiten mit x und u in der Funktion ?

Gruß Kai

28.03.2012, 08:30

klarsoweit

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RE: Kettenregel erkenne und anwenden
Erstmal solltest du über die korrekte Verwendung des Gleichheits- bzw. Äquivalenzzeichens nachdenken:

Zitat:

Original von Redwood
$\begin{eqnarray*} ((1+x)/(x))^n <=> ((1+x)*(x^{-1}))^n <=> ((x^{-1}+1)^n \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} ((1+x)/(x))^n = ((1+x)*(x^{-1}))^n = ((x^{-1}+1)^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Redwood
$\begin{eqnarray*} u(x)=x^{-1}+1 <=> u'(x)= -1x^{-2} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} u(x)=x^{-1}+1 \Rightarrow u'(x)= -1x^{-2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Redwood
$\begin{eqnarray*} F(u)=(u)^{n} <=> F'(u)= nu^{n-1} => n(x^{-1}+1)^{n-1} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} F(u) = u^n \Rightarrow F'(u) = nu^{n-1} \end{eqnarray*}$
Der restliche Teil gehört da nicht hin.

Zitat:

Original von Redwood
$\begin{eqnarray*} f'(x)=n(x^{-1}+1)^{n-1} * -1x^{-2} <=> - ((n(({1/x})+1)^n-1/(x^2) \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} f'(x) = n(x^{-1}+1)^{n-1} \cdot (-1x^{-2}) \end{eqnarray*}$
Der restliche Teil ist dann falsch.

Zitat:

Original von Redwood
Wie erkenne ich die einzelnen Funktionen ? Ist hier
$\begin{eqnarray*} u(x)=4^x F(u) =u^{lnx} \end{eqnarray*}$
richtig ?
Wie soll ich dann F(u) ableiten mit x und u in der Funktion ?

Erstmal darf dein F(u) nur von u abhängig sein. Anders gesagt: die Variable x darf darin nicht vorkommen.

Außerdem mußt du F(u) und u(x) so wählen, daß $\begin{eqnarray*} f(x) = F(u(x)) \end{eqnarray*}$ ist.

29.03.2012, 08:26

Redwood

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Hallo
Danke für deine Antwort, in Zukunft werde ich auf meine Äquivalenzzeichen achten Augenzwinkern

.

Wie kann ich denn $\begin{eqnarray*} 4^{x*lnx} \end{eqnarray*}$ umformen das in der Funktion F(u) nur ein u und kein x mehr steht .

Gruß Kai

29.03.2012, 08:30

klarsoweit

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Heidinei.

Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} F(u) = 4^u \end{eqnarray*}$ und u(x) = ... ?

29.03.2012, 21:13

Redwood

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Danke dir

Die innere und äußere Funktion zu erkennen bereitet mir noch Probleme.

$\begin{eqnarray*} u(x) = lnx => u'(x) = 1/x F(u) = 4^u => F'(u) = u*4^{u-1} f'(x) = lnx*4^{lnx-1}*1/x = {lnx*4^{lnx-1}/x} \end{eqnarray*}$

ist das soweit richtig,die Aufgabe lautet auch alles soweit wie möglich zu vereinfachen ?

Ich habe noch eine Aufgabe die ich nicht hin bekomme $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x\sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x) = x^2-1 => u'(x) = 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(u) = 2u => F'(u) = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x*2 => 4x \end{eqnarray*}$ ??

Das kann doch nicht richtig sein oder ?

ach ich habe die Wurzel vergessen ! das Ergebniss ist natürlich nicht richtig !

Da wäre wieder das Problem mit dem x und dem u
$\begin{eqnarray*} F(u) = 2x\sqrt{u} ... \end{eqnarray*}$

Gruß Kai

30.03.2012, 09:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von Redwood
$\begin{eqnarray*} u(x) = lnx => u'(x) = 1/x F(u) = 4^u => F'(u) = u*4^{u-1} \end{eqnarray*}$

Dein u(x) paßt nicht. Wie man leicht sieht, ist $\begin{eqnarray*} F(u(x)) = 4^{ln(x)} \end{eqnarray*}$ und somit nicht gleich deinem f(x). Außerdem stimmt die Ableitung von F(u) nicht. F(u) ist eine Exponentialfunktion und da gilt deine Regel nicht.

Zitat:

Original von Redwood
$\begin{eqnarray*} u(x) = x^2-1 => u'(x) = 2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(u) = 2u => F'(u) = 2 \end{eqnarray*}$

Auch hier ist F(u(x)) nicht gleich f(x), wie du dann auch selber merkst. Als erstes mußt du erkennen, daß f(x) aus einem Produkt besteht:

Es ist f(x) = u(x) * v(x) mit u(x) = 2x und $\begin{eqnarray*} v(x) = \sqrt{x^2-1} \end{eqnarray*}$ . Für die Ableitung brauchst du also zunächst die Produktregel. Für die Ableitung von v(x) kommt dann die Kettenregel zur Anwendung.

30.03.2012, 18:32

Redwood

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Ok, in meiner Formelsammlung steht nicht was die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 4^ln(x) \end{eqnarray*}$ ist.
Das ist nicht richtig $\begin{eqnarray*} lnx*4^{lnx-1 } \end{eqnarray*}$ oder ?

Schönes Wochenende

31.03.2012, 18:47

klarsoweit

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Als erstes müssen wir wohl mal klären, ob dies deine Funktion ist:

Zitat:

Original von Redwood
Dann habe ich noch eine Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)= 4^{xlnx} \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} f(x) = 4^{ln(x)} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Redwood
Ok, in meiner Formelsammlung steht nicht was die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 4^ln(x) \end{eqnarray*}$ ist.

Steht denn da wenigstens, was die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = 4^x \end{eqnarray*}$ ist?

Zitat:

Original von Redwood
Das ist nicht richtig $\begin{eqnarray*} lnx*4^{lnx-1 } \end{eqnarray*}$ oder ?

In der Tat ist das nicht richtig.

31.03.2012, 19:32

Redwood

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Danke das du soviel Geduld mit mir hast !!

Wie kommst du bitte auf $\begin{eqnarray*} f(x)=4^{ln(x)} \end{eqnarray*}$ die Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x)=4^{xln(x)} \end{eqnarray*}$ .
Hier steht etwas vom $\begin{eqnarray*} a^x => lna*a^x \end{eqnarray*}$
Wäre das die richtige Ableitung für 4^x ?

Schönen Abend

01.04.2012, 10:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von Redwood
Wie kommst du bitte auf $\begin{eqnarray*} f(x)=4^{ln(x)} \end{eqnarray*}$ die Funktion ist $\begin{eqnarray*} f(x)=4^{xln(x)} \end{eqnarray*}$ .

Weil du dieses geschrieben hattest:

Zitat:

Original von Redwood
Ok, in meiner Formelsammlung steht nicht was die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 4^ln(x) \end{eqnarray*}$ ist.
Das ist nicht richtig $\begin{eqnarray*} lnx*4^{lnx-1 } \end{eqnarray*}$ oder ?

Nun denn. Dann sind wir uns ja einig, daß es um $\begin{eqnarray*} f(x) = 4^{x \cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$ geht.

Zitat:

Original von Redwood
Hier steht etwas vom $\begin{eqnarray*} a^x => lna*a^x \end{eqnarray*}$
Wäre das die richtige Ableitung für 4^x ?

Ja, wenn du a=4 nimmst. Augenzwinkern

02.04.2012, 06:13

Redwood

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Morgen
Dann ein neuer Versuch.
$\begin{eqnarray*} u(x)= (Ich-weiss-nicht-was-ich-hier-hinschreiben-soll)^{lnx} F(u) = 4^x => F'(u) = lnx*4^x \end{eqnarray*}$

Was setze ich den für 4^x bei lnx ein ?

02.04.2012, 07:55

Mystic

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Zitat:

Original von Redwood
F(u) = 4^x => F'(u) = lnx*4^x [/l]

Ne, konstante Funktionen (und F(u) ist ja eine solche, da im Funktionsausdruck u ja gar nicht vorkommt!) ergeben abgeleitet 0... Im Fall, dass du uns aber nur ein "u für ein x" vorgemacht hast, stimmt die Ableitung aber bis auf den Faktor lnx, wo ln 4 gehört... Aber wer wird denn schon so kleinlich sein... Big Laugh

02.04.2012, 09:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Redwood
Dann ein neuer Versuch.
$\begin{eqnarray*} u(x)= (Ich-weiss-nicht-was-ich-hier-hinschreiben-soll)^{lnx} F(u) = 4^x => F'(u) = lnx*4^x \end{eqnarray*}$

Was setze ich den für 4^x bei lnx ein ?

Wir waren doch schon so weit, daß $\begin{eqnarray*} F(u) = 4^u \end{eqnarray*}$ sein soll. Jetzt brauchen wir nur noch ein u(x), so daß $\begin{eqnarray*} F(u(x)) = 4^{u(x)} = 4^{x \cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$ ist. Da braucht man doch nur noch das u(x) ablesen. Und das kann jeder Grundschüler, ohne über besondere mathematische Fähigkeiten verfügen zu müssen.

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