intension und extension mathematischer Begriffe |
| 28.03.2012, 09:25 | Magnus87 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| intension und extension mathematischer Begriffe also eine Frage: ich bin auf die Intension und extension von begriffen gestoßen, begreife jedoch nicht genau deren nutzen bzw. sinn. kann ich die Intension und die extension von Begriffen Nutzen um mir mathematische Begriffe besser zugänglich zu machen? was genau bezeichnet die seintension und extension überhaupt=? wozu nutzt man sie? |
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| 28.03.2012, 10:40 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: intension und extension mathematischer Begriffe Es ist vielleicht nicht von ungeheurer Wichtigkeit, aber man sollte schon wissen, was damit gemeint ist. Mit Extension eines Begriffs meint man seinen Umfang, d. h. all die Dinge, auf die er zutrifft. Die Intension eines Begriffes meint seine Bedeutung. Ein Beispiel soll den Unterschied verdeutlichen. Dazu definieren wir 3 Begriffe, A-Zahlen, B-Zahlen und C-Zahlen. Es soll sich dabei immer um natürliche Zahlen handeln. A-Zahlen: Die Primzahlen größer 2 und kleiner 11 B-Zahlen: Die ungeraden Zahlen größer 2 und kleiner 9 C-Zahlen: Die Zahlen 3, 5, 7 A-Zahlen und B-Zahlen sind intensional definiert. Man muss wissen, was Primzahl und ungerade Zahl bedeutet, um entscheiden zu können, ob eine Zahl eine A-Zahl oder eine B-Zahl ist oder nicht. C-Zahlen sind extensional definiert. Es sind einfach alle Zahlen aufgezählt, die unter diesen Begriff fallen sollen. Sieht man sich nun an, welche Zahlen A-Zahlen bzw. B-Zahlen sind, stellt man fest, dass das ebenfalls die Zajlen 3, 5, 7 sind. Die Extension (der Umfang) der Begriffe A-Zahl, B-Zahl und C-Zahl ist also gleich, obwohl sie von der Bedeutung her ganz unterschiedlich definiert sind. Sind die 3 Begriffe nun gleich oder nicht gleich? In der Mathematik würde man fragen, sind die 3 Prädikate A-Zahl, B-Zahl und C-Zahl gleich oder nicht? Oder ist die Menge der A-Zahlen gleich der Menge der B-Zahlen und gleich der Menge der C-Zahlen? Man hat sich in der Mathematik darauf geeinigt, dass Gleichheit extensional gemeint ist. In der Mengenlehre wird das als Extensionalitätsprinzip bezeichnet. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten, egal wie sie definiert sind. In der axiomatischen Mengenlehre wird das als Axiom formuliert. |
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| 28.03.2012, 11:54 | Magnus87 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: intension und extension mathematischer Begriffe das ist super nett danke. was ist denn die intension und extension von dem Begriffen: Integral?? und von Differenzial? ich denke hiernach hab ich es endgültig verstanden |
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| 28.03.2012, 13:58 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: intension und extension mathematischer Begriffe Ich mache das mal für Differenzial im Sinne von Ableitung, die einer Funktion f eine andere Funktion g zuordnet, die man die Ableitung von f nennt und z. B. mit f' bezeichnet. Dabei beschränke ich mich auf Funktionen, die von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen abbilden. Diese Ableitung wird intensional über den Grenzwert des Differenzenquotienten definiert. Mit ihm lässt sich zu einer gegebenen Funktion f feststellen, ob sie differenzierbar ist und welche Funktion g ihre Ableiung ist. Wichtig ist, dass das Prädikat Ableitung zweistellig ist. Wenn man das Prädikat Ableitung kurz A nennt, würde man den umgangssprachlichen Satz, g ist die Ableitung von f, prädikatenlogisch schreiben als A(f, g). Extensional ist die Ableitung dann die Menge aller Funktionspaare (f, g), für die A(f, g) zutrifft. Da dies eine unendliche Menge ist, lässt sie sich nicht durch Auflistung ihrer Elemente angeben. Ableitung ist also nicht extensional definierbar. Wenn man einen zweiten Ableitungsbegriff A* intensional einführen würde, wäre es aber eine sinnvolle Frage, ob die beiden Begriffe extensional gleich sind, d. h. ob gilt: Das zu den Milleniumsproblemen gehörende N/NP-Problem ist von dieser Art. |
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