Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen

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das Monsterschen Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich muss im Rahmen einer Hausarbeit folgende Gleichung nach x auflösen:

a*b^x = m*x

Meine Ideen:
ich hab es schon mit dem Logarithmus zur Basis b versucht. Habe auch schon versucht das über den nätürlichen logarithmus zu lösen, komme da aber irgendwie nicht weiter. Wenn ich die eine Seite der Gleichung gleich Null setze und dann x berechne und das in die zweite Gleichung einsetze komme ich auch nicht weiter, denn dann ist ja das x verschwunden. weiß gerade echt nicht weiter. Kann mir bitte jemand helfen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Zitat:
Original von das Monsterschen
ich muss im Rahmen einer Hausarbeit folgende Gleichung nach x auflösen:

a*b^x = m*x


Das geht leider nicht mit einer geschlossenen Formel.

Viele Grüße
Steffen
das Monsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
und wie geht es dann?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Zitat:
Original von das Monsterchen
und wie geht es dann?


Wenn Dir a, b und m numerisch bekannt sind, kannst Du es zum Beispiel mit dem Newton-Verfahren lösen.

Wenn nicht, könntest Du b^x nach Taylor entwickeln, bis zur vierten Potenz gehen, den Rest vernachlässigen (den Fehler müßtest Du natürlich kennen) und die Nullstellen des entstandenen Polynom vierten Grades lösen.

Wir helfen bei beidem gerne.

Viele Grüße
Steffen
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine einfache grafische Lösung funktioniert wie folgt:

Betrachte beide Seiten deiner Gleichung als getrennte Funktionen bzw. . Zeichne beide Funktionen in ein Koordinatensystem. Die x-Koordinate des Schnittpunktes P(x|y) ist die gesuchte Lösung x.

Wenn du es genauer haben willst, als es mit dieser grafischen Lösung möglich ist, muss du numerische Verfahren verwenden.
das Monsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Danke erstmal für die schnellen Antworten.

Also, es gibt numerische Werte für a, b und m, also wäre wohl das Newton-Verfahern angebracht.

Habe gerade versucht den Papula zu bemühen jedoch scheine ich auch da etwas auf dem Schlauch zu stehen. Würde mich also freuen wenn ihr mir da helfen könntet.

Herzlichen Dank schonmal!!!
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Zitat:
Original von das Monsterchen
Also, es gibt numerische Werte für a, b und m, also wäre wohl das Newton-Verfahern angebracht.


Na, dann mal los. Du suchst die Nullstelle dieser Funktion:



Newton sagt, daß Du einen ersten Näherungswert brauchst. Dann ergibt sich ein besserer Wert wie folgt:



Entsprechend kannst Du dann die weiteren Näherungen berechnen. Die Ableitung kriegst Du hin, oder?

Viele Grüße
Steffen
das Monsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Danke Steffen!

Jan, die Ableitung sollte nicht das Problem sein, aber woher bekomme ich den ersten Näherungswert für x_{1} ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Zitat:
Original von das Monsterchen
woher bekomme ich den ersten Näherungswert für x_{1} ?


Irgendwas in der Nähe der Nullstelle, so ein bißchen wirst Du's ja wissen, zur Not mit dem grafischen Ansatz von Ehos. Kannst aber auch mal einfach "irgendwas" probieren, 1 oder 0 oder...

Solange das jeweilige f'(x) nicht Null oder recht klein wird, was ja auf Deine a, b und m ankommt, sollte das Ganze konvergieren. Wenn nicht, nimm eben einen anderen Startwert.

Viele Grüße
Steffen
das Monsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Also ich hab jetz ein wenig rumgerechnet und fürchte meine Ableitung ist nicht korrekt.
Habe das mit abgeleitet. Stimmt das so, oder hab ich mich da vertan?

Danke nochmal!

das Monsterschen
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Beachte:



Viele Grüße
Steffen
das Monsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
also wäre die Ableitung ?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Zitat:
Original von das Monsterchen
also wäre die Ableitung ?


Ich vermisse die innere Ableitung.

Viele Grüße
Steffen
das Monsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
dann stimmt villeicht ?

In der Oberstufe war das mit den Ableitungen irgendwie einfacher... Augenzwinkern ist schon ein Weilchen her
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Zitat:
Original von das Monsterchen
dann stimmt villeicht ?


Nimm das normale Apostroph (überm #) statt der Akzente, sonst ist Latex verwirrt. Ich hab's mal repariert.

Nein, das stimmt nicht. Du hast doch die äußere Funktion und die innere Funktion . Dann ergibt sich und .

Und was die Kettenregel sagt, weißt Du doch noch, oder?

Viele Grüße
Steffen
das Monsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
alson die kettenregel sagte aus

demnach müsste die Ableitung dann lauten

oder liege ich da auch daneben verwirrt
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Zitat:
Original von das Monsterchen


Perfekt!

Ich bin den Rest des Tages leider offline, aber jetzt wird's ja flutschen, denke ich.

Viele Grüße
Steffen
das Monsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem aus Exponetialgleichung und linearer Gleichung lösen
Herzlichen Dank noch mal für die geduldige Hilfe!!!
Wink
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