Das Erzeugnis einer Gruppe als Durchschnitt von Untergruppen - auch als Vereinigung?

28.03.2012, 14:08

Juppie

Das Erzeugnis einer Gruppe als Durchschnitt von Untergruppen - auch als Vereinigung?

Hallo, ich habe eine Frage zu der folgenden Aussage, die ich nicht ganz verstehe:

Bekannt ist, dass die Vereinigung von Untergruppen keine Untergruppe ist.

"Wir verwenden die gute Schnitteigenschaft der Untergruppen, um den Makel der schlechten Vereinigung auszutilgen, und betrachten bei Gruppen statt der Vereinigung von Untergruppen stets das Erzeugnis der Vereinigung als kleinste Untergruppe, die die Vereinigung enthält."

Danach folgt die Definition, die sehr bekannt ist:

Sei (G,*) eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} M\subseteq G \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge. Das Erzeugnis von M ist die Untergruppe $\begin{eqnarray*} <M> = \bigcap_{M\subseteq U\leq G} U \end{eqnarray*}$
d.h. der Schnitt über alle Untergruppen von G, die M enthalten.

Ich verstehe die Definition mit dem Schnitt. Aber ich kann mir das nicht so ganz vorstellen, wie das mit der Vereinigung zusammenhängt. Kann das vielleicht mal jemand erklären, evtl. anhand eines Beispiels?
Das wäre sehr nett.

Gruß
Juppie

28.03.2012, 14:17

galoisseinbruder

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Gedacht ist es wohl so:
Sei M die Vereinigung der Untergruppen, nennen wir sie $\begin{eqnarray*} H_i \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} <\bigcup_i H_i>:= \bigcap_{\bigcup H_i\subseteq U\leq G} U \end{eqnarray*}$ .

Die Definition ist aber unabhängig vom Schnitt.

28.03.2012, 14:25

Juppie

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Dann ist also M einfach die Vereinigung aller Untergruppen von G.

Ich verstehe dann noch nicht:

Das Erzeugnis der Vereinigung aller Untergruppen ist die kleinste Untergruppe, die die Vereinigung enthält.

Ich kanns mir einfach nicht vorstellen...

28.03.2012, 14:34

galoisseinbruder

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Ich kann mir das auch nicht vorstellen. Ich kann mir die meisten Gruppen nicht vorstellen. Aber das ist auch nicht nötig.

Die allgemeine Aussage ist: <M> ist die kleinste Untergruppe die M enthält.
Der Beweis ist kurz: Sei H eine kleinere Untergruppe die M enthält , dann ist $\begin{eqnarray*} H \subseteq <M> = \bigcap_{M\subseteq U\leq G} U \end{eqnarray*}$ . Aber für alle Untergruppen V die M enthalten gilt:
$\begin{eqnarray*} V \supseteq \bigcap_{M\subseteq U\leq G} U \end{eqnarray*}$ .

Das ist vollkommen unabhängig davon wie M aufgebaut ist.

28.03.2012, 14:40

Juppie

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Ehrlich gesagt verwirrt mich das nur noch mehr

29.03.2012, 16:30

Venus²

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Zitat:

Original von galoisseinbruder
Die allgemeine Aussage ist: <M> ist die kleinste Untergruppe die M enthält.
Der Beweis ist kurz: Sei H eine kleinere Untergruppe die M enthält , dann ist $\begin{eqnarray*} H \subseteq <M> = \bigcap_{M\subseteq U\leq G} U \end{eqnarray*}$ . Aber für alle Untergruppen V die M enthalten gilt:
$\begin{eqnarray*} V \supseteq \bigcap_{M\subseteq U\leq G} U \end{eqnarray*}$ .

Nochmal ein kleines bisschen anders: Wenn H eine kleinere Untergruppe, die M enthält, als <M> wäre oder gleich <M> wäre, dann wäre $\begin{eqnarray*} H \subseteq <M> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M \subseteq H \leq G \end{eqnarray*}$ . Weiter ist per Definition $\begin{eqnarray*} <M> = \bigcap_{M\subseteq U\leq G} U \end{eqnarray*}$ , d.h. H ist eines dieser U, über die geschnitten wird. Der Schnitt von H mit einer Menge kann nur kleiner oder gleich H selbst sein. Also $\begin{eqnarray*} <M> = \bigcap_{M\subseteq U\leq G} U \subseteq H \end{eqnarray*}$ .
Es folgt $\begin{eqnarray*} <M> \subseteq H \subseteq <M> \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} H = <M> \end{eqnarray*}$ .

Weil H kleinstmögliche M enthaltende Untergruppe ist, ist <M> = H genau diese.

Zitat:

Original von galoisseinbruder
Das Erzeugnis der Vereinigung aller Untergruppen ist die kleinste Untergruppe, die die Vereinigung enthält.

Stell dir das, wenn es dir immer noch unklar ist, mal schrittweise vor:
Gegeben sind Untergruppen H_1, H_2, ... . Nun vereinigt man diese zu M. Wie du schon festgestellt hast, ist diese Vereinigung i.a. keine Untergruppe. Deswegen ist das Erzeugnis eingeführt worden. Nun bildet man dieses Erzeugnis <M> der eben gebildeten Vereinigung M. Das Erzeugnis <M> ist definiert als der Schnitt aller Untergruppen von G, die die Vereinigung M enthalten. Du hast dir also <M> vorzustellen als den Rest, der beim Schneiden aller Untergruppen, die M enthalten, übrigbleibt. Weil der Schnitt von Untergruppen immer eine Untergruppe ist, ist also auch der Rest <M> eine Untergruppe. Zudem ist es die kleinste, weil <M> der Schnitt ALLER Untergruppen, die M enthalten, ist. Der Schnitt wird schließlich mit jeder in ihn einfließenden Menge kleiner und wenn ALLE Untergruppen, die M enthalten, in ihn einfließen, kann dabei nur die kleinste Untergruppe, die M enthält, herauskommen.

Viele Grüße

30.03.2012, 12:27

Juppie

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Danke, der erklärende text hat mir geholfen.

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