Konvergenz von Potenzreihen

28.03.2012, 14:24	tennisguru	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Potenzreihen Das Problem ist: "Sei $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ und in $\begin{eqnarray} B(a,r) \backslash \{a\} = \left \{ z \in \mathbb{C}: \|z-a\| \in (0,r) \right \} \end{eqnarray}$ sei die Reihe $\begin{eqnarray} f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{-1} c_k (z-a)^k \quad (c_k \in \mathbb{C}) \end{eqnarray}$ konvergent. Zeige, dass dann die Koeeffizienten $\begin{eqnarray} c_k \end{eqnarray}$ alle = 0 sind." Irgendwelche Ideen?
28.03.2012, 14:34	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es fehlen iwie weitere Voraussetzungen, denn schliesslich ist $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a = 0, \ \ r > 0, \ \ c_k = \begin{cases} 1 &, k = -1 \\ 0 &, k \neq -1 \end{cases} \end{eqnarray}$ ein Gegenbeispiel. mfg
28.03.2012, 15:11	tennisguru	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, entschuldigung, das wichtigste habe ich vergessen, das ist richtig: f ist im Punkt z = a stetig fortsetzbar, d.h. $\begin{eqnarray} \lim\limits_{z \to a} f(z) \end{eqnarray}$ existiert.
28.03.2012, 16:01	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, als erstes sollte man sich klarmachen wieso die Aussage überhaupt richtig ist. Zum Beispiel indem du das Verhalten der Ausdrücke $\begin{eqnarray} (z-a)^{k} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \in \{-1, \dots, -\infty\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \to a \end{eqnarray}$ untersuchst. Würde man dort einfach die Limiten vertauschen so ergibt sich direkt die Behauptung. Alternativ nehmen wir einfach das Gegenteil an. Seien also nicht alle $\begin{eqnarray} c_k \end{eqnarray}$ verschieden von Null. Sei $\begin{eqnarray} k_0 \end{eqnarray}$ der größte Index mit $\begin{eqnarray} c_{k_0}\neq 0 \end{eqnarray}$ . Dann lässt sich schreiben $\begin{eqnarray} f(z) = \sum \limits_{k = -\infty}^{k_0}c_k(z-a)^k \end{eqnarray}$ . Nach Voraussetzung konvergiert die Summe und es gilt $\begin{eqnarray} \exists \underset{z \to a}{\lim}f(z) \end{eqnarray}$ Insbesondere gilt also $\begin{eqnarray} \underset{z \to a}{\lim}(z-a)^{-k_0}f(z) = 0 \end{eqnarray}$ . Dieses liefert einen Wiederspruch mit der Darstellung der obigen Reihe. Die Details seien jetzt dir überlassen. mfg
28.03.2012, 18:12	tennisguru	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort, sergej, aber ich sehe nich genau, wo der Widerspruch jetzt liegen soll. Wenn ich die neue Funktion $\begin{eqnarray} g(z) = (z-a)^{-k_0} f(z) = \sum\limits_{k=-\infty}^{0} c_{k+k_0} (z-a)^k \end{eqnarray}$ bilde, dann ist die nun stetig in $\begin{eqnarray} z=a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(a) = 0 \end{eqnarray}$ , nun gut. Aber warum steht hier ein direkter Widerspruch? Mir ist natürlich klar, dass die Terme $\begin{eqnarray} (z-a)^k \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k \neq 0 \end{eqnarray}$ betragsmäßig beim Grenzübergang divergieren, aber das allein genügt ja noch nicht, um alle möglichen Summen auch divergent zu machen ...
29.03.2012, 11:32	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja du hast recht, so direkt klappt das nicht. Habe nicht zu Ende gedacht,wie so häufig. Diese Idee ist aber bei ähnlichen Behauptungen manchmal nützlich Naja hierzu würde ich vorschlagen wir benutzen die Abschätzung $\begin{eqnarray} 0 < \|z-a\| < \|w-a\| \Longrightarrow 0 < \frac{1}{\|w-a\|} < \frac{1}{\|z-a\|} \end{eqnarray}$ Daraus folgt, dass die Reihe für jedes $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z \neq a \end{eqnarray}$ konvergiert. Nach Voraussetzung existiert auch der Grenzwert $\begin{eqnarray} z \to a \end{eqnarray}$ und damit erhalten wir eine Fortsetzung zu einer ganzen Funktion. Zeige, dass diese beschränkt ist. Was folgt dann mit dem Satz von L.... ? Insbesondere ist dann auch $\begin{eqnarray} h(z) = f\left( \frac{1}{z-a} \right) = ... \end{eqnarray}$ konstant. Die Behauptung folgt dann wenn du die Pünktchen ergänzt für $\begin{eqnarray} z \neq a \end{eqnarray}$ und den Indentitätssatz für Potenzreihen in Erinnerung rufst. PS: Es geht sicher einfacher, aber ich muss weg und wollte mich nicht mit einem nicht zum Ziel führendem Tipp verabschieden. mfg
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