Antisymmetrie/Symmetrie

28.03.2012, 14:48	Joel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Antisymmetrie/Symmetrie Meine Frage: Hallo, Ich habe eine Frage zu Relationen bzw. Symmetrie/Antisymmetrie. Antisymmetrie:Für alle x,y gilt xRy und yRx daraus folgt x=y. A:{a,b,c} R:{(a,a) (b,b) (c,c) (a,b) (b,c)} Was ist hiervon Antisymmetrisch und warum? Symmetrie:Für alle x,y,gilt xRy <=> yRx. A:{a,b,c} R:{(a,a) (b,b) (c,c) (a,c) (c,a)} Was ist hiervon Symmetrisch und warum? Wenn Symmetrie oder Antisymmetrie vorhanden ist, kann dann das andere ausgeschlossen werden? Ich wäre euch für eine Beantwortung miener Frage sehr dankbar. Liebe Grüße Meine Ideen: Sind ausschließlich identische (x,y) Werte (0,0) (1,1) (2,2) für die Antisymmetrie verantwortlich oder habe ich das falsch verstanden?
28.03.2012, 21:23	giu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Joel Die Relation im 2. Beispiel ist beispielsweise nicht antisymmetrisch, da $\begin{eqnarray} aRc \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} cRa \end{eqnarray}$ gilt, aber $\begin{eqnarray} c \neq a \end{eqnarray}$ . Antisymmetrie verlangt in diesem Falle aber, dass $\begin{eqnarray} c = a \end{eqnarray}$ gelten muss. Ein bisschen genauer: Die Antisymmetrie ist wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} \forall x, y \in M: xRy \wedge yRx \Rightarrow x = y \end{eqnarray}$ . Die Implikation ist genau dann falsch, wenn die linke Seite wahr, jedoch aber die rechte Seite falsch ist, und bezüglich dem obengenannten Beispiel ist dies genau der Fall. Die Relation im 1. Beispiel hingegen ist antisymmetrisch. Die Relation im 2. Beispiel ist symmetrisch. Beispiel: $\begin{eqnarray} aRc \end{eqnarray}$ gilt, und auch $\begin{eqnarray} cRa \end{eqnarray}$ , deshalb ist die Symmetrie für dieses Paar erfüllt. Nein, die zwei Eigenschaften schliessen sich nicht gegenseitig aus. Beispielsweise ist folgende Relation symmetrisch sowie antisymmetrisch: $\begin{eqnarray} R:=\{\} \end{eqnarray}$ Die Relation $\begin{eqnarray} a = b \end{eqnarray}$ ist ein noch besseres Beispiel für eine symmetrische sowie antisymmetrische Relation. Falls Du weitere Fragen hast, stell sie nur
28.03.2012, 21:37	joel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Antisymmetrie/Symmetrie Danke Das mit der Implikation, war in diesem Fall wichtig. Hatte die Implikationsregeln außer Acht gelassen, danke für die Info. Liebe Grüße
28.03.2012, 21:42	giu	Auf diesen Beitrag antworten »
You're very welcome!

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