Unechte Teilmenge

28.03.2012, 20:06	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Unechte Teilmenge Meine Frage: Gegeben sind 2 Mengen und folgende Definition: $\begin{eqnarray} n\|m := \exists k \in \mathbb Z : m = kn \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A = \left\{ n \in \mathbb N : 2\|n \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \left\{ n \in \mathbb Z : 3\|n \right\} \end{eqnarray}$ Gefragt ist: Zeigen sie $\begin{eqnarray} A \cup B (nicht \subseteq) \left\{ m \in \mathbb Z \cup \mathbb N : 2\|m \vee 3\|m \right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nun ja... Ich hab mal in die linke Seite Definitionen eingesetzt. $\begin{eqnarray} A\cup B = \left\{ n\in \mathbb N : 2\|n \right\} \cup \left\{ n\in \mathbb Z : 3\|n \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\cup B = \left\{ n\in \mathbb N : n=2k \right\} \cup \left\{ n\in \mathbb Z : n=3k \right\} \end{eqnarray}$ Nun auf der rechten Seite: $\begin{eqnarray} \left\{ m \in \mathbb Z \cup \mathbb N : 2\|m \vee 3\|m \right\}=\left\{ m \in \mathbb Z : 2\|kn \vee 3\|kn \right\} \end{eqnarray}$ Darf ich da für m überhaupt kn einsetzen?
29.03.2012, 02:21	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unechte Teilmenge Wieso Du in der vorletzten Zeile das $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ einführst, ist mir schleierhaft. - Die letzte $\begin{eqnarray} 2\|kn \end{eqnarray}$ -Klammer machst zudem keinen Sinn.- Der Knackpunkt ist jedoch das $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ , um $\begin{eqnarray} A \subseteq {\color{red} \mathbb N } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \subseteq {\color{red} \mathbb Z } \end{eqnarray}$ zu gewährleisten. Wir haben (zur Kontrolle): $\begin{eqnarray} A =\{ 0, ~2, ~4, ~6, \cdots \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B =\{ 0, ~\pm 3, ~\pm 6, ~\pm 9, \cdots \} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} A = \left\{ n\in \mathbb N : n=2k ~\text{mit}~ k \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \left\{ n\in \mathbb Z : n=3k ~\text{mit}~ k \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray}$ Bemerke, daß die beiden $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ verschiedene Bedeutung haben. Und das solltest Du auch für eine Beschreibung durch $\begin{eqnarray} \vee \end{eqnarray}$ zeigen.
29.03.2012, 12:18	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also $\begin{eqnarray} \left\{ m\in \mathbb Z : 2\|m \vee 3\|m \right\} = \left\{ m\in \mathbb Z : 2\|m \right\} \cup \left\{ m\in \mathbb Z : 3\|m \right\} = \left\{ m\in \mathbb Z : m=2k \right\} \cup \left\{ m\in \mathbb Z : m=3k \right\} \end{eqnarray}$ da kann aber iwas nicht passen, weil nun A u B echte Teilmenge davon ist, oder?
29.03.2012, 16:14	SusiQuad	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch. - Weil genau das der Fall ist. Setzen wir $\begin{eqnarray} C= \left\{ m\in \mathbb Z : 2\|m \vee 3\|m \right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^{+} := A \end{eqnarray}$ (wie oben) und $\begin{eqnarray} A^{-} := -A \end{eqnarray}$ , dann erkennen wir $\begin{eqnarray} (A^{+} \cup A^{-}) \cup B = C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A^{+} \cup \emptyset \cup B = A \cup B \subset C \end{eqnarray}$ Nochmal : $\begin{eqnarray} A \cup B \subset C \end{eqnarray}$ und an der Gleichheit fehlt das $\begin{eqnarray} A^{-} \end{eqnarray}$
29.03.2012, 16:31	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetz hab ichs geschnallt, danke =)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »