punktweise Konvergenz

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28.03.2012, 22:12	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
punktweise Konvergenz Meine Frage: Hallo! Ich sitze grad vor folgender Aufgabe: Für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N sei f_n: (0,\infty )\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ definiert durch: $\begin{eqnarray} f_n(x) := \frac{1+x^{2n+10}}{1+5x^{3n}} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: Die Folge $\begin{eqnarray} (f_n) \end{eqnarray}$ konvergiert punktweise, jedoch nicht gleichmäßig gegen eine Funktion $\begin{eqnarray} f: (0,\infty)\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f_n = \frac{1+x^{2n+10}}{1+5x^{3n}}= \frac{\frac{1}{x^{2n}}+x^{10} }{\frac{1}{x^{2n}} +5x^n} =\frac{x^{10} }{ 5x^n} = 0<br /> <br /> -> f(x):= 0 \end{eqnarray}$ Sei E<0, dann gibt es ein $\begin{eqnarray} n_0\in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n_0>\frac{1}{E} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} n \geq n_0 \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt dann: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \|f_n(x)-f(x)\| = \|\frac{1+x^{2n+10}}{1+5x^{3n}}-0\|=\|\frac{1+x^{2n+10}}{1+5x^{3n}}\|<br /> \end{eqnarray}$ und jetzt weiß ich irgendwie grad nicht weiter .... falls das bis dahin überhaupt richtig ist...
28.03.2012, 22:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: punktweise Konvergenz Der punktweise Grenzwert ist nicht ganz richtig. $\begin{eqnarray} \frac1{x^2n} \end{eqnarray}$ geht für x>1 gegen 0, aber für $\begin{eqnarray} x\leq1 \end{eqnarray}$ nicht. Für x<1 sieht man aber schon am "ersten" Bruch, wogegen das konvergiert. Für x>1 dürfte dein Grenzwert aber stimmen. (x=1 auch untersuchen!) Die gleichmäßige Konvergenz kannst du jedenfalls wieder über Unstetigkeit widerlegen. mfg, Ché Netzer PS: Den Limes solltest du aber in jedem Gleichungsschritt mitschreiben.
28.03.2012, 22:56	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: punktweise Konvergenz Hey $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{cases} 1 & x \in (0,1) \\ \frac 1 {3} & x =1\\0 & x>1 \end{cases} \end{eqnarray}$ könnte man das dann so schreiben?
28.03.2012, 23:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: punktweise Konvergenz Würde ich auch so sagen. Kann zwar sein, dass ich mich irre, ich stimme dem aber zu Jedenfalls hast du damit auch die gleichmäßige Konvergenz widerlegt.
29.03.2012, 09:20	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: punktweise Konvergenz also schaue ich - bevor ich irgendwas beweise - erstmal die stellen für x=0, und x=1 an, falls die im Intervall liegen. und wie begründe ich das dann jetzt richtig? reicht es zu schreiben, dass es mehrere Grenzwerte gibt und das ist ein Widerspruch zur gleichmäßigen Konvergenz?
29.03.2012, 10:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: punktweise Konvergenz Erst einmal siehst du dir den Grenzwert der Funktionenfolge an. Dazu brauchst du den Grenzwert von $\begin{eqnarray} f_n(x) \end{eqnarray}$ . Wenn dieser Grenzwert (die Funktion) unstetig ist, ist die Folge nicht gleichmäßig konvergent. "mehrere Grenzwert" reichen da nicht aus, es muss Unstetigkeitsstellen in der Grenzfunktion geben. Nimm dir z.B. $\begin{eqnarray} f_n(x)=\left(1+\frac xn\right)^n \end{eqnarray}$ . Der Grenzwert davon ist bekanntlich die e-Funktion, die nimmt natürlich auch mehrere Werte an. Aber zumindest auf einem Intervall betrachtet ist die Folge gleichmäßig konvergent (auf ganz [l\mathbb R[/l] könnte das schiefgehen, glaube ich).
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29.03.2012, 21:18	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: punktweise Konvergenz also könnte ich so argumentieren: ? da der lim $\begin{eqnarray} f_n (x) \neq f(x) \end{eqnarray}$ ist die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent
29.03.2012, 21:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: punktweise Konvergenz Aber nein, f ist doch als Grenzwert definiert. Du argumentierst so: "Da f unstetig ist (obwohl die Funktionen der Folge stetig sind), ist die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent."
29.03.2012, 21:56	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: punktweise Konvergenz aber wäre die Folge für x=-1/5 nicht auch unstetig?
29.03.2012, 22:00	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: punktweise Konvergenz Keine Ahnung, habe ich nicht überprüft. Immerhin sind die $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ ja nur auf $\begin{eqnarray} (0,\infty) \end{eqnarray}$ definiert
29.03.2012, 22:04	Arcus-sinus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: punktweise Konvergenz ups stimmt

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