cauchy

29.03.2012, 08:45

querez

cauchy

hallo,

ich habe ein verständnisproblem mit dem satz von cauchy.

der satz von cauchy, also der, auf den ich mich beziehe, besagt ja:

falls G eine endliche gruppe ist und p prim und die gruppenordnung teilt, enthält G ein element der ordnung p.

okay, ich kann mir aber irgendwie nicht vorstellen, was genau das bedeutet...
der anfang ist klar,

ich weiß was die ordnung einer gruppe ist, die anzahl der elemente.
was prim ist weiß ich auch.
die gruppenordnung teilen ist auch klar.

nur dieses "ein element der ordnung p" finde ich komisch.
vielleicht kann mir jemand ein beispiel geben, oder versuchen es mir anschaulich zu erklären?

lieben dank

29.03.2012, 09:14

IfindU

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RE: cauchy
Du kannst ja einmal $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 4 \end{eqnarray*}$ betrachten. Cauchy sagt nun, dass es ein Element der Ordnung 2 gibt, also ein Zahl a in Gruppe erfüllt $\begin{eqnarray*} 2a = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

29.03.2012, 09:20

querez

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ach ok, was du sagst, verstehe ich. ist das genau das, was cauchy sagt, also bedeutet das nichts anderes nur, dass dann praktisch eine andere zahl findbar ist, sodass 0 rauskommt? das geht ja dann schon in richtung nullteiler.

29.03.2012, 09:52

Mystic

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RE: cauchy

Zitat:

Original von querez
nur dieses "ein element der ordnung p" finde ich komisch.

Man könnte auch sagen, es gibt eine Untergruppe der Ordnung p, d.h., mit p Elementen, falls du das weniger "komisch" findest...

Überhaupt sollte man den Satz von Cauchy in Verbindung mit dem Satz von Lagrange sehen, der aussagt, dass die Ordnung |U| einer Untergruppe U einer enlichen Gruppen G stetes Teiler der Gruppenordnung |G| ist... Der Satz von Cauchy besagt dann, dass für Primteiler von |G| eben auch immer Untergruppen dieser Ordnung wirklich existieren...

Zitat:

Original von querez
ach ok, was du sagst, verstehe ich. ist das genau das, was cauchy sagt, also bedeutet das nichts anderes nur, dass dann praktisch eine andere zahl findbar ist, sodass 0 rauskommt? das geht ja dann schon in richtung nullteiler.

Ne, mit Nullteilern hat das schon mal gar nichts zu tun, wir sind ja nicht in einem Ring... Und warum muss man hier eine "andere" Zahl finden, sodass 0 herauskommt? Das genaue Gegenteil ist der Fall: Es muss hier ein a verschieden von 0 geben, sodass mit dem gleichen a dann a+a=0 ist...

29.03.2012, 13:03

querez

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dann ist das im prinzip eine direkte folgerung aus dem ersten sylow-satz, oder?
der besagt ja, dass es, falls p prim ist und die gruppenordnung teilt,
zu allen potenzen p^k, k=0,...,m unterrguppen mit dieser ordnung gibt, wenn |G|=p^m*q

29.03.2012, 13:43

Mystic

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Ne, mit den Sylowsätzen, welche ja primär eine Aussage über die größten p-Untergruppen der endlichen Gruppe G machen, hat das rein gar nichts zu tun, obwohl das oft in diesem Zusammenhang noch erwähnt wird...

Man sieht es auch an dem sehr eleganten und kurzen Beweis des Satzes von Cauchy... Dazu betrachtet man für eindliche Gruppe G deren Ordnung |G| den Primteiler p hat die Menge

$\begin{eqnarray*} S:=\{(g_1,g_2,\ldots,g_p) \in G^p \ | \ g_1g_2\ldots g_p =e\} \end{eqnarray*}$

wobei e das Einselement von G bezeichnet. Dann gilt offensichtlich

$\begin{eqnarray*} |S|=|G|^{p-1} \end{eqnarray*}$

d.h., auch |S| "erbt" den Primteiler p von |G|. Nun liegt aber mit $\begin{eqnarray*} (g_1,g_2,\ldots,g_p) \end{eqnarray*}$ sofort auch $\begin{eqnarray*} (g_2,g_3,\ldots,g_p,g_1) \end{eqnarray*}$ in S und damit dann sogar sämtliche "zyklischen Verschiebungen"... Betrachtet man diese als untereinander "äquivalent", was natürlich eine Äquivalenzrelation ist, so indzuiert diese auf S eine Klasseneinteilung, bei der alle Klassen genau p Elementen haben mit Ausnahme der Klassen, welche nur ein Element enthalten, das dann von der Form

$\begin{eqnarray*} (a,a,\ldots,a) \in S \text{ mit } a^p=e \end{eqnarray*}$

sein muss. Speziell für $\begin{eqnarray*} a=e \end{eqnarray*}$ erhalten wir so eine 1-elementige Klasse... Es muss aber noch mehr geben (und daher insbesondere Elemente der Ordnung p), sonst hätte man mit der "Klassengleichung" für diesen Fall ein "Problem" was die Teilbarkeit durch p angeht...

29.03.2012, 13:44

IfindU

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Ja, man kann ihn als Folgerung auffassen. Allerdings habe ich das Gefühl erst den Satz von Cauchy kennengelernt zu haben, was heißen könnte, dass man beim Beweis vom Sylowsatz dann Cauchy braucht (vielleicht für den Induktionsanfang, wenn man es so beweist).

29.03.2012, 15:39

Mystic

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Ja, ich hab mich oben veilleicht etwas mißverständlich ausgedrückt... Ich weiß schon, dass es Formulierungen (und Beweise) der Sylowsätze gibt, wo dann der Satz von Cauchy als einfacher Spezialfall herausfällt (z.B. hier )... Ich wollte damit eigentlich nur sagen, dass man nicht schon von vornherein relativ "schwere Geschütze" wie die Sylowsätze einsetzuen soll, wenn man nur am Beweis eines so einfachen Sachverhalts, wie ihn der Satz von Cauchy ausdrückt, interessiert ist...

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