Z/nZ Primideale und maximale Ideale

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29.03.2012, 13:08	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Z/nZ Primideale und maximale Ideale Hi zusammen, Folgendes: Bestimmen Sie alle maximalen Ideale und alle Primideale in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} n = p \end{eqnarray}$ Primzahl ist das klar, da dann $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Körper sind, die nur zwei Ideale haben. Wie sieht es allgemein aus für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ? Tipps? Danke und Grüße.
29.03.2012, 13:13	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Für welche Elemente a von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (a)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ? Betrachte den relativ kleinen Rest.
29.03.2012, 13:52	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Vermutung: maximale Ideale sind $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ kleinste Primzahl aus der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Primideale sind $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Primzahl.
29.03.2012, 14:00	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist kein Ideal von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Die Addition und Multiplikation ist jeweils verschieden. Bin die nächsten Stunden weg, wenn wer übernehmen will, bitte.
29.03.2012, 14:10	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry blödsinn, ich dachte eigentlich was anderes, habs dann blöderweise so aufgeschrieben. Hier nun das, was ich meinte: maximale Ideale für n sind $\begin{eqnarray} <\overline p> \end{eqnarray}$ für p kleinste Primzahl aus der Primfaktorzerlegung von n. und Primideale für n sind $\begin{eqnarray} <\overline p> \end{eqnarray}$ für p Primzahl.
29.03.2012, 17:53	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Zweiteres ja, Ersteres nein. Schau dir mal z.B. $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ an.
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29.03.2012, 18:14	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} <\overline 1>=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <\overline 2>=\{\overline 2,\overline 4,\overline 0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <\overline 3>=\{\overline 3, \overline 0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <\overline 4>=\{\overline 4,\overline 2,\overline 0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <\overline 5>=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Ich sehe, das 1, sowie alle Primzahlen, die nicht in der Primfaktorzerlegung von n auftauchen, ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ erzeugen. Hier in diesem Bsp. ist es $\begin{eqnarray} p=2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} p^2 \end{eqnarray}$ maximal. Eine Primzahl muss es sein, da jedes maximale Ideal eine Primideal ist. Grüße
29.03.2012, 18:19	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja <2>=<4>, auch da $\begin{eqnarray} -2\equiv 4 \mod 6 \end{eqnarray}$ . Man sollte nur Faktoren von n betrachten. Worauf ich eigentlich raus wollte <3> ist auch ein maximales Ideal.
29.03.2012, 18:30	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heisst also, ein maximales ideal in einem Ring ist nicht eindeutig? Sondern es kann mehrere geben, je nachdem, ob es andere enthält oder nicht. Da $\begin{eqnarray} <\overline 2>=\{\overline 2,\overline 4,\overline 0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <\overline 3>=\{\overline 3, \overline 0\} \end{eqnarray}$ keine Inklusionen sind, sind diese nicht vergleichbar, nach Definition für maximale Ideale, aber jedes für sich maximal?
29.03.2012, 18:37	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es kann mehrere maximale Ideale in einem Ring geben (und das ist aus vielen Gründen gut so). $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ hat z.B. unendlich viele. Ein maximales Ideal ist maximal, aber kein größtes Ideal; deine letzte Schlussfolgerung ist also korrekt.
29.03.2012, 18:39	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also dann scheint mir die Sache jetzt viel einleuchtender... ein wahrer Knackpunkt in meinem Verständnis Demnach sind hier Primideale auch maximale Ideale. Danke dir!!

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