Körpererweiterung

29.03.2012, 15:14

Romaxx

Körpererweiterung

Hallo zusammen,

Was ist $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{3},e^{\frac{2\pi}{3}}) :\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ ?

Mein Ansatz, das Minimalpolynom zu ermitteln, scheitert kläglich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}+e^{\frac{2\pi}{3}}=x \end{eqnarray*}$

Wie kann ich anders vorgehen? Tipps?

Danke und Grüße

29.03.2012, 15:47

Mystic

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RE: Körperwerweiterung

Zitat:

Original von Romaxx
Hallo zusammen,

Was ist $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{3},e^{\frac{2\pi}{3}}) :\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ ?

Mein Ansatz, das Minimalpolynom zu ermitteln, scheitert kläglich:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}+e^{\frac{2\pi}{3}}=x \end{eqnarray*}$

Wie kann ich anders vorgehen? Tipps?

Danke und Grüße

Mein Gefühl sagt mir, dass es dafür gar kein Minimalpolynom gibt... Zumindestens wäre ich sehr erstaunt, wenn ich damit danebenliege...

29.03.2012, 16:02

Romaxx

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Ok, d.h. ist suche erst das Minimalpolynom des einen z.b. ist das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} x^2-3 \end{eqnarray*}$ , da irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und die Erweiterung $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{3}) :\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ ist vom Grad $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^3+1 \end{eqnarray*}$ , dieses ist ebenfalls irredubiel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ , daher ist schließlich $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt{3},e^{\frac{2\pi}{3}}) :\mathbb{Q}]=2\cdot 3=6 \end{eqnarray*}$ . Richtig?

29.03.2012, 16:07

Mystic

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Zitat:

Original von Romaxx
Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^3+1 \end{eqnarray*}$ ,[...]

Kann ich nicht nachvollziehen, das ist ja nicht mal eine Nullstelle des Polynoms...

29.03.2012, 16:08

Romaxx

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Damn.. ich meine anstelle von $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ doch eher $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi i}{3}} \end{eqnarray*}$ ... Wie leicht doch ein $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ verloren geht. geschockt

29.03.2012, 16:20

Mystic

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Ah, ok, probieren wir's jetzt mal aus:

$\begin{eqnarray*} (e^{\frac{2i \pi}3})^3+1=e^{2i \pi}+1=1+1=2 \end{eqnarray*}$

Hm, funktioniert noch immer nicht...

29.03.2012, 16:28

Romaxx

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Kann das sein, das bei teilerfremden Graden von Minimalpolynomen zweier algebraischer Elemente über einem Körper K, es kein gemeinsames Minimalpolynom geben kann?

29.03.2012, 16:44

Mystic

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Ne, das kann definitv nicht sein... Nimm z.B. die gleiche Aufgabe, aber nur mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[3] 3 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ ... Dann wäre doch offensichtlich $\begin{eqnarray*} x^3-3 \end{eqnarray*}$ das "gemeinsame Minimalpolynom", oder etwa nicht?

29.03.2012, 17:22

Romaxx

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So, nun noch einmal von Vorne...

Ich hab eben gemerkt, das ich auch einige Rechenfehler gemacht hab:

Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi i}{3}} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} x^3-1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) \end{eqnarray*}$ ...

Also, ich möchte $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt[3] 3,e^{\frac{2\pi i}{3}}) :\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ berechnen.

Dazu weiß ich, dass das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2\pi i}{3}} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ ist, also von Grad 2.

Das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt[3] 3 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} x^3-3 \end{eqnarray*}$ .

Beide haben verschiedene Grade, nämlich 2 und 3.

Ich gehe nun davon aus, das es dann kein "gemeinsames Minimalpolynom" geben kann.

Der Satz vom primitiven Element besagt.
Sei L/K endlich und separabel. Dann existiert ein a in L mit L = K(a), das heißt,
L ist eine einfache Körpererweiterung.

Wenn es ein gemeinsames Minimalpolynom geben würde, würde dieses Grad 6 haben müssen, da die Adjunktion der beiden algebraischen Elemente meiner Meinung nach auf 6 führt, also $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt[3] 3,e^{\frac{2\pi i}{3}}) :\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ = 6 ist.
Dazu müsste dieses Minimalpolynom ein primitives Element besitzen, das von der Form der Art $\begin{eqnarray*} \sqrt[3] 3+e^{\frac{2\pi i}{3}} \end{eqnarray*}$ sein müsste (kann mir nichts anderes vorstellen). Doch beim Berechnen des "gemeinsamen Minimalpolynoms" mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} \sqrt[3] 3+e^{\frac{2\pi i}{3}}=x \end{eqnarray*}$ scheitert es daran, das ich beim Potenzieren nicht ans Ziel gelange...

So denke ich gerade Augenzwinkern

29.03.2012, 20:02

Mystic

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Also fassen wir zusammen: Was du bisher gerechnet hast, war alles falsch, weil bereits die Angabe jede Menge an Fehlern enthielt... Na toll! unglücklich

Dein letztes Posting war aber vergleichsweise schon sehr brauchbar...Ich denke auch, man sollte zuerst $\begin{eqnarray*} \sqrt[3] 3 \end{eqnarray*}$ adjungieren, dessen Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} x^3-3 \end{eqnarray*}$ ist, und dann $\begin{eqnarray*} e^{\frac{2i\pi}3} \end{eqnarray*}$ , dessen Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ ist, und erhält dann insgesamt den Zerfällungskörper für das Polynom $\begin{eqnarray*} x^3-3 \end{eqnarray*}$ ... Den Terminus "gemeinsames Minimalpolynom" sollten wir mal lieber nicht verwenden, der ist meines Wissens nach nicht gebräuchlich...

29.03.2012, 20:18

Romaxx

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Richtig, danke für deine Geduld smile

. Ich kann aber trotzdem nach dem "gemeinsamen Minimalpolynom" fragen, im Sinne von, ein primitives Element zu finden, das durch Adjunktion direkt den Erweiterungskörper erzeugt, welches dann aber ein Polynom von Grad 6 sein müsste.

Wollte man das machen, würde dies schief gehen, da ich kein primitives Element finde, das Nullstelle eine Polynoms von Grad 6 ist, welches $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt[3] 3,e^{\frac{2\pi i}{3}}) :\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$ erzeugt. Oder anders ausgedrückt, wollte ich einen Kandidat wählen, der am plausibelsten erscheint, würde ich $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{3}+e^{\frac{2\pi i}{3}} \end{eqnarray*}$ wählen und durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} \sqrt[3] 3+e^{\frac{2\pi i}{3}}=x \end{eqnarray*}$ versuchen das Minimalpolynom zu ermitteln. Doch das geht nicht, denn das liegt daran, das die Grade der einzelnen Minimalpolynome der zu adjungierenden Elemente jeweils über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ verschiedenen Grad haben, denn diese sind ein Hinweis für die Lösung mit dem Ansatz (durch einfache Umformungen, wie potenzieren, adieren, multiplizieren) auf eine Lösung zu kommen.

Grüße

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