Ableitung eines Integrals explizit der Gammafunktion

29.03.2012, 15:27

isiRHS

Ableitung eines Integrals explizit der Gammafunktion

Meine Frage:
Ich muss, um eine Aufgabe zur Gammafunktion zu bearbeiten, diese nach x ableiten.
Die Gammafunktion lautet: $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! e^{-t} t^{x-1} \, dt \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe versucht diese Formel anzuwenden für die Ableitung von Integralen. $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \left[F(b)-F(a)\right] \end{eqnarray*}$
Darf ich das in diesem Fall oder gilt ihr anderes?
a=0 daraus folgt:
F(a)= F(0)= 0
$\begin{eqnarray*} b=\infty \end{eqnarray*}$
Es bleibt: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} F(b)= \frac{d}{dx} F(\infty ) \end{eqnarray*}$
nur wie ich jetzt zu meiner Ableitung komme ist mir irgendwie nicht klar..
Ich hoffe mir kann geholfen werden?

02.04.2012, 00:52

Mulder

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RE: Ableitung eines Integrals explizit der Gammafunktion

Zitat:

Original von isiRHS
a=0 daraus folgt:
F(a)= F(0)= 0

Wieso ist F(0)=0? Was weißt du denn über F? verwirrt

Im Fall der Gammafunktion kannst du doch einfach unter dem Integralzeichen differenzieren (diese Vertauschung ist hier erlaubt, die Voraussetzungen dazu spare ich mir jetzt mal aufzulisten, die kann man nachlesen). Also:

$\begin{eqnarray*} \Gamma'(x) = \int\limits_0^{\infty} \frac{\partial }{\partial x} \left ( e^{-t} \cdot t^{x-1} \right ) \, \dd t \end{eqnarray*}$

Das t kannst du im Fall der Ableitung nach x als Konstante annehmen, die Ableitung ist damit nicht mehr schwer. Das Integral an sich lässt du unangetastet (wie willst du das auch auswerten?).

05.04.2012, 14:23

isiRHS

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RE: Ableitung eines Integrals explizit der Gammafunktion

Zitat:

Original von Mulder

Im Fall der Gammafunktion kannst du doch einfach unter dem Integralzeichen differenzieren (diese Vertauschung ist hier erlaubt, die Voraussetzungen dazu spare ich mir jetzt mal aufzulisten, die kann man nachlesen). Also:

$\begin{eqnarray*} \Gamma'(x) = \int\limits_0^{\infty} \frac{\partial }{\partial x} \left ( e^{-t} \cdot t^{x-1} \right ) \, \dd t \end{eqnarray*}$

Das t kannst du im Fall der Ableitung nach x als Konstante annehmen, die Ableitung ist damit nicht mehr schwer. Das Integral an sich lässt du unangetastet (wie willst du das auch auswerten?).

okay so habe ich es dann auch gemacht, war mir aber nicht sicher ob ich das tatsächlich so machen darf.
Nur das mit den Voraussetzungen ist mir nicht ganz klar, wo kann ich die nachlesen? verwirrt

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