Integral berechnen

29.03.2012, 17:10

Clematis

Integral berechnen

Hallo!

Ich sitz grad an ein paar Integralaufgaben, hab grundsätzlich aber noch nicht viel Ahnung und versuche nun trotz mißerabler Grundlagen an ein brauchbares Ergebins zu kommen...
Mein erstes Problem ist folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{1}{1+x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass arctan´(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

und dass man den Satz der monotonen Konvergenz anwenden kann. Aber wieso und was es damit auf sich hat und wie die Lösung dann aussieht, ich weiß es nicht...
Hilfe!

LG,
Clematis

29.03.2012, 17:21

mYthos

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Du hast nur noch den $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und jenen von $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ zu berechnen ...

mY+

29.03.2012, 17:23

klauss

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RE: Integral berechnen
Wäre die Aufgabe gelöst, wenn man
$\begin{eqnarray*} \left[arctan(x)\right]_{0}^{\infty } \end{eqnarray*}$
oder von mir aus auch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left[arctan(x)\right]_{0}^{n} \end{eqnarray*}$
berechnet?

29.03.2012, 17:26

Integralos

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Ja, du musst eben noch den Grenzwert berechnen und das dürfte kein Problem sein.
lg

29.03.2012, 17:39

Clematis

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Also...

arctan ( $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ) - arctan (0) = arctan ( $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ )

und $\begin{eqnarray*} \lim_{N \to \infty } arctan (N) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1/2 \pi \end{eqnarray*}$

Kann man das so in etwa sagen?

29.03.2012, 19:13

klauss

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Wenn damit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ gemeint ist, ja. Deine Schreibweise war doch arg zweideutig.

29.03.2012, 20:16

Mystic

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Zitat:

Original von klauss
Wenn damit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ gemeint ist, ja. Deine Schreibweise war doch arg zweideutig.

Naja, zweideutig ist sie gerade nicht (wo ist da die Zweitbedeutung?), aber arg umständlich... Man könnte hier auch einfach $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ schreiben...

29.03.2012, 20:19

Integralos

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So wie er es oben geschrieben hat könnte man auch meinen, dass es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$ heißt

29.03.2012, 20:24

Mystic

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Zitat:

Original von Integralos
So wie er es oben geschrieben hat könnte man auch meinen, dass es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$ heißt

Eben nicht, denn für diese Bedeutung müsste man syntaktisch korrekt Klammern setzen, also dann $\begin{eqnarray*} 1/(2\pi) \end{eqnarray*}$ schreiben... Kein CAS der Welt würde seinen Ausdruck daher in der von dir angegebenen Weise interpretieren...

29.03.2012, 20:30

Integralos

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Ja da hast du recht...aber für einen nicht computergesteuerten Menschen kann es trotzdem zweideutig sein.....

29.03.2012, 20:36

Clematis

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Ich hatte schon $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ gemeint.

Dann auf jeden Fall vielen Dank!

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