Lösung von Bruchungleichungen

29.03.2012, 18:13

Monkey101

Hallo.
Ich bins mal wieder.
Konnte inzwischen die Gleichung oben lösen smile

.
Aber ich sitze gerade an meinen Matheaktivübungen zum Thema Ungleichungen und hab da nen kleinen Hänger...ich fang ma direkt an:
Die Ungleichung ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{x-4}<\frac{4}{x+1} \end{eqnarray*}$
Muss ich da jetzt ne Fallunterscheidung vornehmen?
Wenn ja warum? Sonst krieg ich nämlich 7/3 als ergebnis raus.
Gleiche Frage bei der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{2x-4}{3-2x}>5 \end{eqnarray*}$
Hab in meinen Unterlagen Beispiele da wird bei solchen Ungleichungen ne Fallunterscheidung gemacht und wieder andere bei denen das nicht nötig ist. Meiner Meinung nach muss man da keine machen dann wären die Aufgaben allerdings zu einfach würde ich sagen....
Danke schonmal vorab ich bin gerade sehr verwirrt...

MfG
Monkey101

edit: Habe die neue Anfrage vom alten Thread abgetrennt.
LG sulo

29.03.2012, 18:38

Kasen75

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Hallo,

ich habe mal auch mal die Ungleichung als Gleichung behandelt und nach x aufgelöst. Ich habe da ein anderes Ergebnis als du. Zeige doch mal, wie du Gleichung gelöst hast. Nur mit dem richtigen Wert von x, kann man sehen, in wie weit eine Fallunterscheidung nötig ist.

Mit freundlichen Grüßen.

29.03.2012, 18:43

SusiQuad

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Situation für $\begin{eqnarray*} \frac{5}{x-4}<\frac{4}{x+1} \end{eqnarray*}$

Das gleiche für $\begin{eqnarray*} \frac{2x-4}{3-2x}>5 \end{eqnarray*}$

Man erkennt an den Graphen, wo die Terme die Vorzeichen wechseln.
Daraus ergeben sich die Intervalle für die Fallunterscheidungen.

29.03.2012, 19:09

Monkey101

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Hallo Danke für die schnellen Antworten.
@Kasen Ich hab se auch als normale Gleichung behandelt (zumal einer meiner Tutoren aus dem Mathe-Tutorium eine ähnliche Aufgabe eben auch so gelöst hat meine Beispiele aus der Vorlesung aber ne Fallunterscheidung machen und die Gleichung an sich nicht auflösen...alles verwirrend)

Ich hab die Gleichung so umgestellt nachdem ich für den Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer 4 und -1 angegeben habe:
$\begin{eqnarray*} 5x+5< 4x-16 \end{eqnarray*}$
Dann hab ich grad nen kleinen Fehler gefunden und krieg dann wenn ich |-4x;-5 rechne x<-21 raus

@Susi

Ok aber wenn ich jetzt ne Fallunterscheidung machen muss dann muss ich die Gleichung wie ich sie oben jetzt gelöst habe mit x=-21 ja garnicht lösen oder?
Dann würde ich einmal $\begin{eqnarray*} x-4>0 \Rightarrow x>4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1>0 \Rightarrow x>-1 \end{eqnarray*}$ machen, was zu $\begin{eqnarray*} x>4. \end{eqnarray*}$ wird

Und dann noch $\begin{eqnarray*} x-4<0 \Rightarrow x<4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1<0 \Rightarrow x<-1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x<-4 \end{eqnarray*}$ .
Und hätte nen Intervall von ]-4;4[ oder?
Da würde aber die Gleichung an sich doch garnicht nach x gelöst werden oder?

Danke wieder vorab.
MfG Monkey101

29.03.2012, 20:03

Kasen75

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Hallo,

ich habe auch x < - 21 raus. Bezüglich der Fallunterscheidung musst du wohl auf die Antwort von Susiqad warten. Schließlich hast du sie ja direkt darauf angesprochen.

Mit freundlichen Grüßen

29.03.2012, 20:25

original

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Zitat:

Original von SusiQuad

Situation für $\begin{eqnarray*} \frac{5}{x-4}<\frac{4}{x+1} \end{eqnarray*}$

Man erkennt an den Graphen, wo die Terme die Vorzeichen wechseln.
Daraus ergeben sich die Intervalle für die Fallunterscheidungen.

.... nur: der von dir gewählte Bildausschnitt ist für diese Aufgabe etwas zu klein verwirrt

Zitat:

Original von Monkey101

Ok aber wenn ich jetzt ne Fallunterscheidung machen muss dann muss ich die Gleichung wie ich sie oben jetzt gelöst habe mit x=-21 ja garnicht lösen oder?

doch, denn damit bekommst du nachher den Teil der Gesamtlösung, der beim Bild von SusiQuad noch nicht sichtbar ist smile

also:
wie sieht diese Gesamtlösung dann aus?

29.03.2012, 20:35

weisbrot

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mal so als angebot: warum geht ihr denn nicht mal rein analytisch an die sache ran: es ist $\begin{eqnarray*} \frac{5}{x-4}<\frac{4}{x+1} \end{eqnarray*}$ zu lösen . wenn wir das auflösen wollen müssen wir mit den nennern multiplizieren; nenner 1 ist >0 g.d.w. x>4, nenner zwei ist >0 g.d.w. x>-1.
also fallunterscheidung: x>4 => beide nenner >0, wir können multiplizieren ohne dass sich das relationszeichen umkehrt, wir erhalten $\begin{eqnarray*} 5x+5<4x-16 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x<-21 \end{eqnarray*}$ was im widerspruch zum betrachteten fall steht, also hier keine lösung.
fall 2: -1<x<4: nenner1 <0 und nenner2 >0, also kehrt sich die relation beim multiplizieren um: $\begin{eqnarray*} 5x+5>4x-16 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x>-21 \end{eqnarray*}$ , wir haben die lösung $\begin{eqnarray*} x \in (-1,4) \end{eqnarray*}$ .
fall 3: x<-1: beide nenner <0, relation kehrt sich "doppelt" um, bleibt also erhalten, wir bekommen $\begin{eqnarray*} 5x+5<4x-16 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x<-21 \end{eqnarray*}$ . hier also die lösung $\begin{eqnarray*} x\in (-\infty ,-21) \end{eqnarray*}$ .
gesamtlösung wäre also: $\begin{eqnarray*} x\in (-\infty , -21)\cup (-1,4) \end{eqnarray*}$ .

lg

29.03.2012, 20:52

Monkey101

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Also ich hab mir grad ma nen dicken Fragenkatalog aufgeschrieben und frag da morgen mal rum damit ich mir nen allgemeines Lösungsverfahren aufschreiben kann ich hab da nämlich so mein Problem mit den Bedingungen...

Ich hätte jetzt für Fall 1 folgendes genommen:
$\begin{eqnarray*} x-4>0 \Rightarrow x>4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+1 >0 \Rightarrow x>-1 \end{eqnarray*}$
Dann löse ich die Gleichung und kriege ja $\begin{eqnarray*} x<-21 \end{eqnarray*}$ heraus.
Ich weiß jetzt das x mindestens größer als -1 sein müsste was allerdings nicht erfüllt wird. Ist das jetzt ne leere Lösungsmenge?

Fall 2 dann:
$\begin{eqnarray*} x-4<0 \Rightarrow x<4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+1<0 \Rightarrow x<-1 \end{eqnarray*}$
Was für $\begin{eqnarray*} x<-21 \end{eqnarray*}$ ja zutreffen müsste denn -21 ist kleiner als -1 und 4.
Aber was heißt das jetzt für meine Lösungsmenge? ]-unendlich;-21[ oder muss ich jetzt was aus den Bedingungen nehmen?

Fall 3:
$\begin{eqnarray*} x-4>0 \Rightarrow x>4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+1<0 \Rightarrow x<-1 \end{eqnarray*}$
Die Bedingungen heben sich in dem Fall ja schon auf denn x kann nicht größer 4 und kleiner -1 sein. Ergebnis der Gleichung wäre: $\begin{eqnarray*} x>-21 \end{eqnarray*}$

Fall 4:
$\begin{eqnarray*} x-4<0 \Rightarrow x<4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+1>0 \Rightarrow x>-1 \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} x>-21 \end{eqnarray*}$
Hier wäre der Intervall doch dann ]-21;4[ wenn ich mich nicht irre und als Menge {-21<x<4} oder?

Ist die Rechnung bis hier richtig?
Danke wie immer.
Mfg Monkey101

29.03.2012, 21:16

original

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@Monkey101
Tipp:

du solltest das obige "Angebot" von weisbrot genau durchlesen , mitdenken
und versuchen, die drei notierten Fälle zu verstehen..

alle deine Fragen werden sich dann hoffentlich von selbst erledigen ..

also mach dir die Mühe smile

29.03.2012, 21:19

Monkey101

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@weisbrot
Vielen Dank für die Antwort war leider schon am tippen als du sie verfasst hast smile

Dann war ich ja garnicht so weit weg mit dem was ich da gerade hingezaubert hab so langsam erkenn ich das System dahinter.
Dann werd ich mich morgen mal an den anderen Versuchen dann kommen allerdings noch die Beträge hinzu...
Kompliziert wirds doch dann bestimmt wenn man 2 Brüche mit Variablen in Beträgen stehen hat denke ich mir^^.

Danke auch an die anderen die mich auf den Lösungsweg gebracht haben.

Ich werd mich bestimmt wieder melden wenn ich weitere Probleme habe.

Schönen abend noch
Monkey101

29.03.2012, 22:25

SusiQuad

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Mein Bildausschnitt für $\begin{eqnarray*} \frac{5}{x-4}<\frac{4}{x+1} \end{eqnarray*}$ ist (viel) zu klein.
Natürlich gibt es gaaaaanz links bei $\begin{eqnarray*} x=-21 \end{eqnarray*}$ einen Vorzeichenwechsel.
Da war ich schlicht zu faul, 2 Zeilen zu rechnen. Hammer

30.03.2012, 17:21

Monkey101

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Hallo da bin ich schon wieder das Drama Monkey und die Ungleichungen kann in Akt 2 gehen Big Laugh

Ich hab jetzt gerade alle Aktivübungsaufgaben und Tutoriumaufgaben gemacht hab da aber noch ein paar kleine Probleme...
Erstmal zu ner kleinen Verständnisfrage:
$\begin{eqnarray*} |2x-5|=5 \end{eqnarray*}$
Ich habe jetzt Fall 1 mit $\begin{eqnarray*} x>\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$
Ausgerechnet kommt x=5 raus...was ja zur Bedingung passt ist die Lösungsmenge also {5} und der Intervall ]5/2;unendlich[ ?
Für Fall 2 habe ich:
$\begin{eqnarray*} x<\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$
Was ausgerechnet x=0 ergibt. Was ja dann eine leere Lösungsmenge sein dürfte oder?

Jetzt kam so eine Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} 16=|x^{2}-4x-16| \end{eqnarray*}$
Ich hab jetzt erstmal das ganze mit der pq-Formel aufgelöst was $\begin{eqnarray*} x1=2+2\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x2=2-2\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ was ich mal auf +2,5 & -2,5 gerundet hab.
Jetzt ist mein erstest Problem schon das ich nicht genau weiß ob der bereich von - bis + 2,5 einen positiven oder negativen Bereich auf der Parabel abdeckt...
Hab das einfach mal als <0 Bedingung genommen und hab dann als Bedingung ja -2,5<x<2,5.
Löse ich jetzt die Gleichung erhalte ich X1=4 und X2=0. Heißt das jetzt das der Bereich stimmt als Intervall da die 0 ja drin liegt?
Für Fall 2 das der Ausdruck >0 ist wäre die Bedingung ja dann x<-2,5 und x>2,5 .
Dies dann ausgerechnet würde X1=8 und X2=-4 ergeben was ebenfalls in die Bedingungen passt... Was ist denn jetzt genau meine Lösungsmenge?

Das reicht erstmal da waren noch 2 Aufgaben bei denen ich ähnliche Probleme habe...

Bin wie immer dankbar für Hilfe ich schein das mit den Bedingungen und den Lösungsmengen noch nicht so wirklich zu verstehen.

MfG Monkey101

30.03.2012, 17:36

weisbrot

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hallo wieder!
gleich mal: hier hast du diesmal keine UNgleichungen, sondern gleichungen. du kannst es hier genauso mit fallunterscheidung machen wie bei ungleichungen (so wie dus versucht hast), das machts aber unnötig aufwändig. also erstmal dazu: im 1. beispiel hättest du im 1. fall die lösungsmenge {5} GESCHNITTEN mit (5/2,unendl.), was = {5} ist, im 2. fall bekommst du analog {0}; zusammen also 2 lösungen 0 und 5.
aber du kannst auch einfach die gleichungen +(2x-5)=5 und -(2x-5)=5 lösen. analog beim 2. bsp.. klar warum? lg

30.03.2012, 18:13

Monkey101

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@weisbrot
Danke mal wieder für die Antwort.
Da es ein Betrag ist kann ich die 2 Gleichungen einmal positiv und einmal negativ betrachten und lösen...das hab ich ja quasi bei meiner Fallunterscheidung so gemacht^^ aber jetzt weiß ich auch das bei solchen Betragsgleichungen Lösungen raus kommen und keine Intervalle (oder hab ich das wieder Falschverstanden?).
Dann wäre das bei meinem 2. Beispiel ja L={-4;0;4;8} oder?

Danke nochmal dann guck ich mir die anderen 2 Aufgaben nochmal an und meld mich falls es wieder Verständnisprobleme gibt^^.

MfG und schönes Wochenende
Monkey101

30.03.2012, 18:29

weisbrot

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genau. nunja wir suchen ja immer nach der menge aller lösungen, darunter fällt natürlich auch ein intervall. wenn du wie hier endlich viele lösungen hast schreibst du sie normalerweise auch als menge, aber du kannst sie auch einfach so angeben, das ist nicht so wichtig. lg

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